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设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,又设f’(0)存在且等于a(a≠0),试证明对任意的x∈(一∞,+∞),f’(x)都存在,并求f(x)。
设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,又设f’(0)存在且等于a(a≠0),试证明对任意的x∈(一∞,+∞),f’(x)都存在,并求f(x)。
admin
2018-01-30
47
问题
设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对于任意x与y均有f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
,又设f
’
(0)存在且等于a(a≠0),试证明对任意的x∈(一∞,+∞),f
’
(x)都存在,并求f(x)。
选项
答案
将x=y=0代入f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
,得f(0)=0,为证明f
’
(x)存在,则由导数定义, [*] =f(x)+f
’
(0)e
x
=f(x)+ae
x
。 所以对任意x∈(一∞,+∞),f
’
(x)都存在,且f
’
(x)=f(x)+ae
x
。 解此一阶线性方程,得 f(x)=[*]=e
x
(ax+C)。 又因f(0)=0,得C=0,即f(x)=axe
x
。
解析
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考研数学二
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