某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池,其容积是3/5πm3,池底的材料30元/m2,池壁的材料20元/m2,问如何设计,才能使成本最低,最低成本是多少元?

admin2022-09-15  32

问题 某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池,其容积是3/5πm3,池底的材料30元/m2,池壁的材料20元/m2,问如何设计,才能使成本最低,最低成本是多少元?

选项

答案设池底半径为r,池高为h(如图2-3-3),则πr2h=3/2π,得h=3/2r2,又没制造成本为S,则 S=30·πr2+20·2πrh=30·πr2+20·2πr·3/2r2=30π(r2+2/r), S′=30π(2r-2/r2). 令S′=0,得驻点r=1. 因为S″=30π(2+4/r3)>0, 所以r=1为唯一的极小值点,即为最小值点. 所以,底半径为1m,高为3/2m时,可使成本最低,最低成本为90π元. [*]

解析
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