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  3. 快速排序是一种典型的分治算法。采用快速排序对数组A[p．．r]排序的三个步骤如下： 分解：选择一个枢轴

快速排序是一种典型的分治算法。采用快速排序对数组A[p．．r]排序的三个步骤如下： 分解：选择一个枢轴

admin2015-06-03  39
问题 快速排序是一种典型的分治算法。采用快速排序对数组A[p．．r]排序的三个步骤如下：
    分解：选择一个枢轴    递归求解：通过递归的调用快速排序，对子数组A[p．．q-1]和A[q+1．．r]分别排序。
    合并：快速排序在原地排序，故不需合并操作。
(1)待排序数组是否能被较均匀地划分对快速排序的性能有重要影响，因此枢轴元素的选取非常重要。有人提出从待排序的数组元素中随机地取出一个元素作为枢轴元素，下面是随机化快速排序划分的伪代码——利用原有的快速排序的划分操作，请填充其中的空缺处。其中，RANDOM(i，j)表示随机取i到j之间的一个数，包括i和j。
    RANDOMIZED-PARTITION(A，p，r){
    i=RANDOM(p，r)；
    交换(8)和(9)；    ／／空(8)和空(9)答案可互换，但两空全部答对方可得分
    return PART工TION(A，p，r)；
    }
    (2)随机化快速排序是否能够消除最坏情况的发生?(10)。(是或否)
选项
答案(8)A[i]。 (9)A[r]。 (10)否。
解析 该题主要考查考生对分治算法的快速排序的理解，对伪代码、快速排序的复杂度的掌握，做题的关键是要读懂题干，理解题干中对算法的描述。
    问题1考查的是算法的伪代码表示。分治法的设计思想是将一个难以直接解决的问题，分解成一些规模较小的相同问题，各个击破。其快速排序算法的核心处理是进行划分，根据枢轴元素的值，把一个较大的数组分成两个较小的子数组。一个子数据组的所有元素的值小于等于枢轴元素的值，一个子数组的所有元素的值大于枢轴元素的值，而子数组内的元素不排序。以最后一个元素为枢轴元素进行划分，从左到右依次访问数组的每一个元素，与枢轴元素比较大小，并进行元素的交换。在问题1给出的伪代码中，当循环结束后，A[p．．i]中的值小于等于枢轴元素值x，而A[i+1．．r-1]中的值应大于x。此时A[i+1]是第一个比A[r]大的元素，于是A[r]与A[i+1]交换，得到划分后的两个子数组。由于划分操作(即PARTITION操作)返回枢轴元素的值，因此返回值为i+1。
    问题2考查的是算法的时间复杂度分析。当每次都能做均匀划分时，是算法的最佳情况，其时间复杂度为T(N)=2T(n／2)+O(N)，即时间复杂度为O(nlgn)；算法的最坏情况是每次为极不均匀划分，即长度为n的数组划分后一个子数组为n-1，一个为0，其时间复杂度为T(N)=T(n-1)+O(N)，即时间复杂度为O(n2)；算法的平均情况分析起来比较复杂，假设数组每次划分为9／10：1／10，此时时间复杂度可以通过计算得到为O(nlgn)；也就是说在平均情况下快速排序仍然有较好的性能。问题2中假设要排序的n个元素都具有相同值时，快速排序的运行时间复杂度，属于最坏情况，因为每次都划分为长度为n-1和0的两个子数组。
问题3中，由于随机化的快速排序的划分调用了PARTITION操作，而传统划分每次以数组的最后一个元素作为枢轴元素。随机化的快速排序消除了输入数据的不同排列对算法性能的影响，降低了极端不均匀划分的概率，但不能保证不会导致最坏情况的发生。
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