2. 考研
  3. 设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0)， 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0)， 其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12． 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2013-03-17  65
问题 设二次型
f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．
选项
答案由矩阵A的特征多项式 [*]=(A-2)2(λ+3)， 得到λ的特征值λ1=λ2=λ3=-3． 对于λ=2，由(2E-A)x=0，[*] 得到属于λ=2的线性无关的特征向量α1=(0，1，0)T，α2=(2，0，1)T． 对于λ=-3，由(-3E-A)x=0，[*] 得到属于λ=-3的特征向量d3=(1，0，-2)T． 由于α1，α2，α3已两两正交，故只需单位化，有 γ1=(0，1，0)T γ2=[*](2，1，1)T γ3=[*](1，1，-2)T 那么，令P=(γ1，γ2，γ3)=[*]，则P为正交矩阶，存正交变换x=Py下，有 PTAP=P-1AP=[*] 二次型的标准形为f=2y12+2y22-3y32．
解析
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考研数学三

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