设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

admin2013-03-17 98

问题设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX=ax₁²+2x₂²-2x₃²+2bx₁x₃(b>0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*]=(A-2)²(λ+3)，得到λ的特征值λ₁=λ₂=λ₃=-3．对于λ=2，由(2E-A)x=0，[*] 得到属于λ=2的线性无关的特征向量α₁=(0，1，0)^T，α₂=(2，0，1)^T．对于λ=-3，由(-3E-A)x=0，[*] 得到属于λ=-3的特征向量d3=(1，0，-2)T．由于α₁，α₂，α₃已两两正交，故只需单位化，有 γ₁=(0，1，0)^T γ₂=[*](2，1，1)^T γ₃=[*](1，1，-2)^T 那么，令P=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]，则P为正交矩阶，存正交变换x=Py下，有 P^TAP=P^-1AP=[*] 二次型的标准形为f=2y₁²+2y₂²-3y₃²．

解析

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考研数学三

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设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b>0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．

考研数学三

工人阶级实现革命领导权的基础是()

“自由不在于幻想中摆脱自然规律而独立，而在于认识这些规律，从而能够有计划地使自然规律为一定的目的服务。”这说明自由是()

创新、协调、绿色、开放、共享五大发展理念相互贯通、相互促进，是具有内在联系的集合体。以下选项内容正确的有()

2022年6月21日，国务院总理李克强在河北考察时指出，保持经济运行在合理区间，两个重要指标是稳就业稳物价，()是稳物价的基本支撑。

求曲线x2＋z2＝10，y2＋z2＝10在点(1，1，3)处的切线和法平面方程．

患者，女，29岁，已婚。近半年来月经后期，经量少，现已停经4个月，伴五心烦热，潮热颧红，舌红少苔脉细数，尿妊娠试验阴性。其治法是()

一定量的某种理想气体由初态经等温膨胀变化到末态时，压强为P1；若由相同的初态经绝热膨胀变到另一末态时，压强为P2。若二过程末态体积相同，则()。

在股票多空趋势明显时，(　　)具有涨时追价、跌时停损的特性。

与借贷市场相比,证券市场具有如下特征()。

母语的基本性质决定了母语高等教育的“培根固本”特征，母语教育对于维系_、传承优秀传统、构筑心灵世界具有不可_的作用。填入划横线部分最恰当的一项是()。

在下面程序的横线处填上__________，使程序执行后的输出结果为1／2005。#includeusingnamespacestd；classDate{public：Date(int

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2022年6月21日，国务院总理李克强在河北考察时指出，保持经济运行在合理区间，两个重要指标是稳就业稳物价，()是稳物价的基本支撑。

求曲线x2＋z2＝10，y2＋z2＝10在点(1，1，3)处的切线和法平面方程．

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