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设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过z轴上V点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径的圆面.若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的. (I)写出注水过程中
设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过z轴上V点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径的圆面.若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的. (I)写出注水过程中
admin
2016-07-21
42
问题
设有一容器由平面z=0,z=1及介于它们之间的曲面S所围成.过z轴上V点(0,0,z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z),它是半径
的圆面.若以每秒v
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体积单位的均匀速度往该容器注水,并假设开始时容器是空的.
(I)写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积y=y(t)之间的关系式,并求出水面高度z与时间t的函数关系;
(Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度;
(Ⅲ)求灌满容器所需时间.
选项
答案
(I)由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是[*]其中S(z)是水面D(z)的面积,即S(z)=π[z
2
+(1一z)
2
]. [*] 将上式两边对t求导,由复合函数求导法得[*]这是可分离变量的一阶微分方程,分离变量得[*]两边积分并注意z(0)=0,得[*](若未解答题(I),可对题(I)告知要证的结论即(*,*)式两边对t求导得[*]因此,求[*]364取最大值时z的取值归结为求f(z)=z
2
+(1一z)
2
在[0,1]上的最小值点. 由[*] [*] (Ⅲ)归结求容器的体积,即[*]因此灌满容器所需时间为[*]或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t,是在(**)中令z=1得[*]
解析
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考研数学二
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