2. 考研
  3. 设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上V点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的． (I)写出注水过程中

设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上V点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的． (I)写出注水过程中

admin2016-07-21  52
问题 设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过z轴上V点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径的圆面．若以每秒v0体积单位的均匀速度往该容器注水，并假设开始时容器是空的．
(I)写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积y=y(t)之间的关系式，并求出水面高度z与时间t的函数关系；
(Ⅱ)求水表面上升速度最大时的水面高度；
(Ⅲ)求灌满容器所需时间．
选项
答案(I)由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是[*]其中S(z)是水面D(z)的面积，即S(z)=π[z2+(1一z)2]． [*] 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得[*]这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得[*]两边积分并注意z(0)=0，得[*](若未解答题(I)，可对题(I)告知要证的结论即(*，*)式两边对t求导得[*]因此，求[*]364取最大值时z的取值归结为求f(z)=z2+(1一z)2在[0，1]上的最小值点． 由[*] [*] (Ⅲ)归结求容器的体积，即[*]因此灌满容器所需时间为[*]或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，是在(**)中令z=1得[*]
解析
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考研数学二

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