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设向量β可由向量组α1,α2,...,αm线性表示,但不能由向量组(I):α1,α2,...,αm-1, 线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,...,αm-1,β, 则
设向量β可由向量组α1,α2,...,αm线性表示,但不能由向量组(I):α1,α2,...,αm-1, 线性表示,记向量组(Ⅱ):α1,α2,...,αm-1,β, 则
admin
2013-03-17
38
问题
设向量β可由向量组α
1
,α
2
,...,α
m
线性表示,但不能由向量组(I):α
1
,α
2
,...,α
m-1
,
线性表示,记向量组(Ⅱ):α
1
,α
2
,...,α
m-1
,β,
则
选项
A、α
m
不能由(I)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示.
B、α
m
不能由(I)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示.
C、α
m
可由(I)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示.
D、α
m
可由(I)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示.
答案
B
解析
因为β可由α
1
,α
2
,...,α
m
线性表示,故可设
β=k
1
α
1
,k
2
α
2
,...,k
m
α
m
.
由于β不能由α
1
,α
2
,...,α
m-1
线性表示,故上述表达式中必有k
m
≠0.因此
α
m
=1/k
m
(β-k
1
α
1
-k
2
α
2
-…-k
m-1
α
m-1
).
即α
m
可由(Ⅱ)线性表示,可排除(A)、(D).
若α
m
可由(I)线性表示,设α
m
=l
1
α
1
+…+l
m-1
α
m-1
,则
β=(k
1
+k
m
l
1
)α
1
+(k
2
+k
m
l
2
)α
2
+…+(k
m-1
+k
m
l
m-1
)α
m-1
.
与题设矛盾,故应选(B).
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考研数学三
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