2. 考研
  3. 设f在[a，b]上连续，x1，x2，…．xn∈[a，b]，另有一组正数λ1，λ2，…．λn满足λ1+λ2+…+λn=1．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．

设f在[a，b]上连续，x1，x2，…．xn∈[a，b]，另有一组正数λ1，λ2，…．λn满足λ1+λ2+…+λn=1．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．

admin2022-10-31  31
问题 设f在[a，b]上连续，x1，x2，…．xn∈[a，b]，另有一组正数λ1，λ2，…．λn满足λ1+λ2+…+λn=1．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．
选项
答案由连续函数的最值定理知，f(x)在[a,b]上有最小值和最大值．设其最小、最大值分别为m和M．于是m≤f(x)≤M．由λ1，λ2，…．λn＞0和λ1+λ2+…+λn=1得 m=(λ1+λ2+…+λn)m≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)≤(λ1+λ2+…+λn)M=M．由介值性定理知，存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)
解析
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考研数学一

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