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设f在[a，b]上连续，x1，x2，…．xn∈[a，b]，另有一组正数λ1，λ2，…．λn满足λ1+λ2+…+λn=1．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．
设f在[a，b]上连续，x1，x2，…．xn∈[a，b]，另有一组正数λ1，λ2，…．λn满足λ1+λ2+…+λn=1．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．
admin
2022-10-31
40
问题
设f在[a，b]上连续，x
1
，x
2
，…．x
n
∈[a，b]，另有一组正数λ
1
，λ
2
，…．λ
n
满足λ
1
+λ
2
+…+λ
n
=1．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=λ
1
f(x
1
)+λ
2
f(x
2
)+…+λ
n
f(x
n
)．
选项
答案
由连续函数的最值定理知，f(x)在[a,b]上有最小值和最大值．设其最小、最大值分别为m和M．于是m≤f(x)≤M．由λ
1
，λ
2
，…．λ
n
＞0和λ
1
+λ
2
+…+λ
n
=1得 m=(λ
1
+λ
2
+…+λ
n
)m≤λ
1
f(x
1
)+λ
2
f(x
2
)+…+λ
n
f(x
n
)≤(λ
1
+λ
2
+…+λ
n
)M=M．由介值性定理知，存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=λ
1
f(x
1
)+λ
2
f(x
2
)+…+λ
n
f(x
n
)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ivgD777K
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考研数学一
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