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  3. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )

admin2017-06-08  48
问题 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则(    )
选项 A、当m＞n时，｜AB｜≠0．
B、当m＞n时，｜AB｜=0．
C、当n＞m时，｜AB｜≠0．
D、当n＞m时，｜AB｜=0．
答案B
解析 本题考察AB的行列式｜AB｜，而条件显然是不能用来计算｜AB｜．而利用方阵“可逆<=>满秩”，转化为“r(AB)是否=AB的阶数m”的判断则是可行的．
有不等式
r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}．
如果m＞n，则
r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}=n＜m．
于是r(AB)＜m，从而AB不可逆，｜AB｜=0．因此B成立．
(如果m＜n，r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}=m．不能断定r(AB)与m的关系，C，D都不一定成立．)
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考研数学二

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