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已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. 求正交变换x=Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形;
admin
2013-03-04
35
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=(1-a)x
1
2
+(1-a)x
2
2
+2x
3
2
+2(1+a)x
1
x
2
的秩为2.
求正交变换x=Qy,把f(x
1
,x
2
,x
3
)化成标准形;
选项
答案
由[*]=λ(λ-2)
2
=0, 知矩阵A的特征值是2,2,0. 对λ=2,由(2E-A)x=0,[*] 得特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(0,0,1)
T
. 对λ=0,由(0E-A)x=0,[*] 得特征向量α
1
=(1,-1,0)
T
. 由于特征向量已经两两正交,只需单位化,于是有 γ
1
=[*](1,1,0)
T
γ
2
=(0,0,1)
T
γ
3
=[*](1,-1,0)
T
令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*],那么,经正交变换x=Q Y有 f(x
1
,x
2
,x
3
)=2y
1
2
+2y
2
2
.
解析
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考研数学三
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