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设函数Q(x,y)在xOy面上具有一阶连续偏导数,曲线积分I=∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy, 求Q(x,
设函数Q(x,y)在xOy面上具有一阶连续偏导数,曲线积分I=∫L2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy, 求Q(x,
admin
2023-03-22
12
问题
设函数Q(x,y)在xOy面上具有一阶连续偏导数,曲线积分I=∫
L
2xydx+Q(x,y)dy与路径无关,并且对任意t恒有
∫
(0,0)
(t,1)
2xydx+Q(x,y)dy=∫
(0,0)
(1,t)
2xydx+Q(x,y)dy,
求Q(x,y).
选项
答案
由于曲线积分与路径无关,[*],从而 Q(x,y)=x
2
+C(y), 其中C(y)为待定函数.又 ∫
(0,0)
(t,1)
2xydx+Q(x,y)dy=∫
0
1
[t
2
+C(y)]dy=t
2
+∫
0
1
C(y)dy, ∫
(0,0)
(1,t)
2xydx+Q(x,y)dy=∫
0
t
[1
2
+C(y)]dy=t+∫
0
t
C(y)dy, 由题设有 t
2
+∫
0
1
C(y)dy=t+∫
0
t
(y)dy, 两边对t求导数,得2t=1+C(t),于是C(t)=2t-1,从而C(y)=2y-1.因此 Q(x,y)=x
2
+2y-1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/joMD777K
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考研数学一
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