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  3. 设函数Q(x，y)在xOy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分I=∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有 ∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy， 求Q(x，

设函数Q(x，y)在xOy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分I=∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有 ∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy， 求Q(x，

admin2023-03-22  21
问题 设函数Q(x，y)在xOy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分I=∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有
    ∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy，
    求Q(x，y)．
选项
答案由于曲线积分与路径无关，[*]，从而 Q(x，y)=x2+C(y)， 其中C(y)为待定函数．又 ∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫01[t2+C(y)]dy=t2+∫01C(y)dy， ∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy=∫0t[12+C(y)]dy=t+∫0tC(y)dy， 由题设有 t2+∫01C(y)dy=t+∫0t(y)dy， 两边对t求导数，得2t=1+C(t)，于是C(t)=2t-1，从而C(y)=2y-1．因此 Q(x，y)=x2+2y-1．
解析
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考研数学一

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