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设R是集合上的关系,证明或否定下述论断: (1)若R是自反的,则s(R)、t(R)是自反的。 (2)若R是对称的,则r(R)、t(R)是对称的。 (3)若R是传递的,则r(R)、s(R)是传递的。
设R是集合上的关系,证明或否定下述论断: (1)若R是自反的,则s(R)、t(R)是自反的。 (2)若R是对称的,则r(R)、t(R)是对称的。 (3)若R是传递的,则r(R)、s(R)是传递的。
admin
2009-07-15
12
问题
设R是集合上的关系,证明或否定下述论断:
(1)若R是自反的,则s(R)、t(R)是自反的。
(2)若R是对称的,则r(R)、t(R)是对称的。
(3)若R是传递的,则r(R)、s(R)是传递的。
选项
答案
①对任意的x∈A,因为R是自反的,所以<x,x>正R。又因为Rs[*](R),所以<x,x>∈s(R),即s(R)是自反的。 ②对任意的x∈A,因为R是自反的,所以<x,x>∈R。又因为Rt[*](R),所以<x,x>∈t(R),即t(R)是自反的。 (2)①对任意的x,y∈A,若<x,y>∈r(R)=R∪IA,则有<x,y>∈R或<x,y>∈IA。 若<x,y>∈R,则由R是对称的,所以<y,x>∈R。又因为Rr[*](R),所以<y,x>∈r(R)。 若<x,y>∈IA,则x=y,即有<y,x>∈IA。又因为IAr[*](R),所以<y,x>∈r(R)。 无论是哪种情况,都有<y,x>∈r(R),即r(R)是对称的。 ②对任意的x,y∈A,若<x,y>∈t(R),则存在i∈{1,2,3,…,n…},使得<x,y>∈Ri。由复合关系的定义知:存在c1,c2,…,ci-1,使得<x,c1>∈R,<c1,c2>∈R,…,<ci-1,y>∈R。因为R是对称的,所以有:<y,ci-1>∈R,<ci-2,ci-3>∈R,…,<c1,x>∈R。由复合苯系的定义知:<y,x>∈Ri,即有<y,x>∈t(R),所以t(R)是对称的。 (3)①对任意的x,y,z∈A,若<x,y>∈r(R)=R∪IA,<y,z>∈r(R)=R∪IA,则有(<x,y>∈ R或<x,y>∈IA)并且(<y,2>∈R或<y,2>∈IA)若<x,y>∈R且<y,z>∈R,则由R是传递的,所以<x,z>∈R。 若<x,y>∈IA或<y,z>∈IA,则有x=y或y=z。又因为IAr[*](R), 则由<x,x>∈r(R)及<x,z>∈r(R),有<x,2>∈r(R)。 则由<x,2>∈r(R)及<z,z>∈r(R),有<x,2>∈r(R). 所以<x,2>∈r(R)。 无论是哪一种情况,都有<x,2>∈r(R),即r(R)是传递的。 ②结论不一定成立。
解析
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