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设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任意a∈[0,1],有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01 f(x)g’(x)dx≥f(A)g(1).
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任意a∈[0,1],有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01 f(x)g’(x)dx≥f(A)g(1).
admin
2015-07-22
111
问题
设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且f(0)=0,f’(x)≥0,g’(x)≥0.证明:对任意a∈[0,1],有∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(A)g(1).
选项
答案
令F(A)=∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx一f(A)g(1),a∈[0,1],则 F’(a)=g(a)f’(a)一f’(a)g(1)=f’(a)[g(a)一g(1)]. 因为x∈[0,1]时,f’(x)≥0,g’(x)≥0,即函数f(x),g(x)在[0,1]上单调递增,又a≤1,所以 F’(a)=f’(a)[g(a)一g(1)]≤0, 即函数F(a)在[0,1]上单调递减,又 F(1)=∫
0
1
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx一f(1)g(1) =∫
0
1
[g(x)f(x)]’dx一f(1)g(1)=g(1)f(1)一g(0)f(0)一f(1)g(1) =一f(0)g(0)=0, 所以,F(a)≥F(1)=0,即 ∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx一f(a)g(1)≥0, 即 ∫
0
a
g(x)f’(x)dx+∫
0
1
f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1).
解析
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考研数学三
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