2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，将A的第1列分别乘以(-1／2)与(-1)依次加到第2列与第3列得B，再将B的第1行分别乘以(-1／2)与(-1)依次加到第2行与第3行得C，则下列选项正确的是( ) ①A与C相似． ②A与C合同．

设A是3阶矩阵，将A的第1列分别乘以(-1／2)与(-1)依次加到第2列与第3列得B，再将B的第1行分别乘以(-1／2)与(-1)依次加到第2行与第3行得C，则下列选项正确的是( ) ①A与C相似． ②A与C合同．

admin2023-01-04  39
问题 设A是3阶矩阵，将A的第1列分别乘以(-1／2)与(-1)依次加到第2列与第3列得B，再将B的第1行分别乘以(-1／2)与(-1)依次加到第2行与第3行得C，则下列选项正确的是(          )
    ①A与C相似．
    ②A与C合同．
    ③｜A｜=｜B｜．
    ④｜A｜=｜C｜．
选项 A、①②．
B、①③．
C、①②④．
D、②③④．
答案D
解析 依题设，有
    AE12(-1／2)E13(-1)=B，
    E31(-1)E21(-1／2)AE12(-1／2)E13(-1)=C，
    E12(-1／2)E13(-1)=
    则P可逆，且
    PT=[E12(-1／2)E13(-1)]T=E31(-1)E21(-1／2)，
    故PTAP=C，即A与C合同．又由｜P｜=1，知｜A｜=｜B｜．又
    ｜PTAP｜=｜PT｜｜A｜｜P｜=｜A｜=｜C｜．
    故D正确．
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考研数学一

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