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设矩阵.B=P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
设矩阵.B=P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
admin
2013-03-29
74
问题
设矩阵
.B=P
-1
A
*
P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A
*
为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.
选项
答案
由于[*] [*]=(λ-1)
2
(λ-7) 故A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=7. 因为丨A丨=λ
i
=7,若Aα=λα,则A
*
α=丨A丨/λα.所以,A
*
的特征值为:7,7,1. 由于B=P
-1
A
*
P,即A
*
与B相似,故B的特征值为7,7,1.从而B+2E的特征值为9,9,3. 因为 B(P
-1
α)=(p-1A
*
P)(P
-1
α)=P
-1
A
*
α=丨A丨/λP
-1
α. 按定义知矩阵B属于特征值掣的特丨A丨/λ量是P
-1
α.因此B+2E属于特征值值丨A丨/λ+2的特征向量是P
-1
α. 由于 P
-1
=[*] λ=1时,(E-A)x=0,[*] 得到属于λ=1的线性无关的特征向量为a
1
=[*],a
2
=[*]. 当λ=7时,由(7E-A)x=0,[*] 得到属于λ=7的特征向话为a
3
=[*] 那么 P
-1
a
1
=[*], P
-1
a
2
=[*], P
-1
a
3
=[*]. 因此,B+2E属于特征值λ=9的全部特征向量为k
1
[*]+k
2
[*], ,其中k
1
,k
2
是不全为零的任意常数. 而B+2E属于特征值λ=3的全部特征向量为k
3
[*],其中k
3
为非零的任意常数.
解析
因为A
*
与B相似,而两个相似矩阵的特征值与特征向量有关联,利用它们之间的联系就可求出B的特征值与特征向量,进而就可求B+2E的特征值与特征向量.
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考研数学三
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