2. 考研
  3. 设矩阵．B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

设矩阵．B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．

admin2013-03-29  57
问题 设矩阵．B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．
选项
答案由于[*] [*]=（λ-1）2（λ-7） 故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7． 因为丨A丨=λi=7，若Aα=λα，则A*α=丨A丨/λα．所以，A*的特征值为：7，7，1． 由于B=P-1A*P，即A*与B相似，故B的特征值为7，7，1．从而B+2E的特征值为9，9，3． 因为 B(P-1α)=(p-1A*P)(P-1α)=P-1A*α=丨A丨/λP-1α． 按定义知矩阵B属于特征值掣的特丨A丨/λ量是P-1α．因此B+2E属于特征值值丨A丨/λ+2的特征向量是P-1α. 由于 P-1=[*] λ=1时，(E-A)x=0，[*] 得到属于λ=1的线性无关的特征向量为a1=[*]，a2=[*]. 当λ=7时，由(7E-A)x=0，[*] 得到属于λ=7的特征向话为a3=[*] 那么 P-1a1=[*]， P-1a2=[*]， P-1a3=[*]. 因此，B+2E属于特征值λ=9的全部特征向量为k1[*]+k2[*]， ，其中k1，k2是不全为零的任意常数． 而B+2E属于特征值λ=3的全部特征向量为k3[*]，其中k3为非零的任意常数．
解析 因为A*与B相似，而两个相似矩阵的特征值与特征向量有关联，利用它们之间的联系就可求出B的特征值与特征向量，进而就可求B+2E的特征值与特征向量．
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考研数学三

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