设矩阵.B=P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

admin2013-03-29  56

问题 设矩阵.B=P-1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

选项

答案由于[*] [*]=(λ-1)2(λ-7) 故A的特征值为λ12=1,λ3=7. 因为丨A丨=λi=7,若Aα=λα,则A*α=丨A丨/λα.所以,A*的特征值为:7,7,1. 由于B=P-1A*P,即A*与B相似,故B的特征值为7,7,1.从而B+2E的特征值为9,9,3. 因为 B(P-1α)=(p-1A*P)(P-1α)=P-1A*α=丨A丨/λP-1α. 按定义知矩阵B属于特征值掣的特丨A丨/λ量是P-1α.因此B+2E属于特征值值丨A丨/λ+2的特征向量是P-1α. 由于 P-1=[*] λ=1时,(E-A)x=0,[*] 得到属于λ=1的线性无关的特征向量为a1=[*],a2=[*]. 当λ=7时,由(7E-A)x=0,[*] 得到属于λ=7的特征向话为a3=[*] 那么 P-1a1=[*], P-1a2=[*], P-1a3=[*]. 因此,B+2E属于特征值λ=9的全部特征向量为k1[*]+k2[*], ,其中k1,k2是不全为零的任意常数. 而B+2E属于特征值λ=3的全部特征向量为k3[*],其中k3为非零的任意常数.

解析 因为A*与B相似,而两个相似矩阵的特征值与特征向量有关联,利用它们之间的联系就可求出B的特征值与特征向量,进而就可求B+2E的特征值与特征向量.
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