设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3。证明α1，α2，α3线性无关；

admin2015-09-14 49

问题设A为3阶矩阵，α₁，α₂为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α₃满足Aα₃=α₂+α₃。
证明α₁，α₂，α₃线性无关；

选项

答案设存在一组常数k₁，k₂，k₃，使得 k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0 ① 用A左乘①式两端，并利用Aα₁=一α₁，Aα₂=α₂，一k₁α₁+(k₂+k₃)α₂+k₃α₃=0 ② ①一②，得 2k₁α₁一k₃α₂=0 ③ 因为α₁，α₂是A的属于不同特征值的特征向量，所以α₁，α₂线性无关，从而由③式知k₁=k₃=0，代入①式得 k₂α₂=0，又由于α₂≠0，所以k₂=0，故α₁，α₂，α₃线性无关。

解析

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考研数学三

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