2. 专升本
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1．求证：

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1．求证：

admin2021-08-14  20
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f’(x)≤1．求证：
选项
答案首先证明不等式 [*] 再令[*]则 φ’(x)=2f(x)-2f(x)f’(x)=2f(x)[1－f’(x)]. 因为f(0)=0，f’(x)≥0，所以f(x)单增，当x≥0时，f(x)≥f(0)=0． 又0≤f’(x)≤1，于是φ’(x)≥0，由此φ(x)单增，当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0， 所以又有F’(x)≥0，由此F(x)单增，当x≥0时，F(x)≥F(0)=0，故F(1)≥0， 从而有[*]
解析
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