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设向量组α1,α2,…,αn线性无关,若要求向量组α1+α2,α2+α3,…,αn-1+αn,αn+α1线性无关,则n应满足什么条件?
设向量组α1,α2,…,αn线性无关,若要求向量组α1+α2,α2+α3,…,αn-1+αn,αn+α1线性无关,则n应满足什么条件?
admin
2021-12-15
63
问题
设向量组α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,若要求向量组α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
n-1
+α
n
,α
n
+α
1
线性无关,则n应满足什么条件?
选项
答案
解法1用定义证明. 设一组数k
1
,k
2
,…,k
n
,使得 k
1
(α
1
+α
2
)+k
2
(α
2
+α
3
)+…+k
n-1
(α
n-1
+α
n
)+k
n
(α
n
+α
1
)=0, 即 (k
1
+k
n
)α
1
+(k
2
+k
1
)α
2
+…+(k
n-1
+k
n-2
)α
n-1
+(k
n
+k
n-1
)α
n
=0, 因为α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关,则有 [*] 于是,向量组α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
n-1
+α
n
,α
n
+α
1
线性无关的充要条件是方程组(*)仅有零解,即系数行列式 [*] =1+(-1)
n+1
≠0, 即向量组α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
n-1
+α
n
,α
n
+α
1
线性无关的充要条件是n为奇数. 解法2讨论两向量组转换矩阵的奇异性.由 (α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
n-1
+α
n
,α
n
+α
1
) [*] 知向量组α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,…,α
n-1
+α
n
,α
n
+α
1
线性无关的充要条件是其转换矩阵非奇异,即 [*] =1+(-1)
n+1
≠0, 即n为奇数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lOca777K
本试题收录于:
经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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