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  3. 设三阶矩阵A满足｜A—2I｜＝0，｜2I＋A｜＝0，｜—3I＋2A｜＝0，则｜A｜＝[ ]．

设三阶矩阵A满足｜A—2I｜＝0，｜2I＋A｜＝0，｜—3I＋2A｜＝0，则｜A｜＝[ ]．

admin2014-09-08  17
问题 设三阶矩阵A满足｜A—2I｜＝0，｜2I＋A｜＝0，｜—3I＋2A｜＝0，则｜A｜＝[    ]．
选项 A、—12
B、12
C、—6
D、6
答案C
解析 设λ0是A的一个特征值，则λ0必然满足方程f(λ0)＝｜λ0I—A｜＝0，因此满足f(λ0)＝｜λ0I—A｜＝0的λ0一定是A的一个特征值．
    由｜A—2I｜＝｜(—1)(2I—A)｜＝(—1)3｜2I—A｜＝0，可知λ1＝2是A的一个特征值．
    由｜2I＋A｜＝｜(—1)(—2I—A)｜＝(—1)3｜(—2)I—A｜＝0，可知λ2＝—2是A的一个特征值．
由｜—3I＋2A｜＝是A的一个特征值．
而A为三阶矩阵，最多只能有3个不同的特征值．利用矩阵特征值的性质得｜A｜＝λ1λ2λ3＝—6．
故选C．
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