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已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=χ12+χ22+χ32-4χ1χ2-4χ1χ3+2aχ2χ3通过正交变换χ=Qy化为标准形f(χ1,χ2,χ3)=3y12+3y22+by32,求参数a,b及所用的正交变换.
已知二次型f(χ1,χ2,χ3)=χ12+χ22+χ32-4χ1χ2-4χ1χ3+2aχ2χ3通过正交变换χ=Qy化为标准形f(χ1,χ2,χ3)=3y12+3y22+by32,求参数a,b及所用的正交变换.
admin
2016-03-16
65
问题
已知二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=χ
1
2
+χ
2
2
+χ
3
2
-4χ
1
χ
2
-4χ
1
χ
3
+2aχ
2
χ
3
通过正交变换χ=Qy化为标准形f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=3y
1
2
+3y
2
2
+by
3
2
,求参数a,b及所用的正交变换.
选项
答案
本题主要考查特征值的性质及二次型通过正交变换化为标准形,是一道有一定难度的综合题. 二次型的矩阵为 [*] 由题设知矩阵A的特征值为λ
1
=3,λ
2
=3,λ
3
=b.由特征值的性质,得 [*] 解得a=-2,b=-3,从而矩阵A的特征值是3,3,-3. 当λ=3时,对(3E-A)χ=0的系数矩阵作初等行变换, [*] 其基础解系为α
1
=(-1,1,0)
T
,α
2
=(-1,0,1)
1
T
. 当λ=-3时,对(-3E-A)=0的系数矩阵作初等行变换, [*] 其基础解系为α
3
=(1,1,1)
T
. 将α
1
,α
2
Schmidt正交化,令 [*] 令Q=(y
1
,y
2
,y
3
),经过正交变换χ=Qy,f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)化成标准形f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=3y
1
2
+3y
2
2
-3y
3
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/lgbD777K
0
考研数学二
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