求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数。

admin2018-01-30 49

问题求函数f(x)=x²ln(1+x)在x=0处的n阶导数。

选项

答案当n=1时，f^’(x)=2xln(1+x)+[*]，则f^’(0)=0；当n=2时，f^’’(x)=2ln(1+x)+[*]，则f^’’(0)=0；当n≥2时，利用莱布尼茨公式[μ(x)ν(x)]⁽ⁿ⁾=[*]C_n^kμ^(k)(x)ν^(n－k)(x)。令μ(x)=x²，ν(x)=ln(1+x)，则 μ^’=2x，μ^’’=2，μ⁽ⁿ⁾=0(n≥3)，ν⁽ⁿ⁾=[*]，所以 f⁽ⁿ⁾(0)=C_n²μ^’’(0)ν^(n－2)(0)=[*]．2．(一1)^n－1．(n一3)！=[*]。

解析

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