2. 工程
  3. 曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体的体积V等于( )。

曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体的体积V等于( )。

admin2019-10-11  16
问题 曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体的体积V等于(    )。
选项 A、∫02πdθ∫01rdr
B、∫02πdθ∫0trdr
C、∫02πdθ∫0rrdr∫r1-rdz
D、∫02πdθ∫01rdr
答案D
解析 记曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体为Ω，Ω的图形如题12解图所示，

Ω的体积V=dV。因Ω在xOy面的投影是圆域x2+y2≤1，所以有：0≤θ≤2π。z是从球面x2+y2+z2=2z的下半部到抛物面z=x2+y2，化为柱坐标有：≤z≤r2，故原积分化为柱坐标下的三重积分有：
V==∫02πdθ∫01rdr
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