设f(x)在[0，1]上连续，且满足f(0)=1，f’(x)=f(x)+ax一a，求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．

admin2016-12-16 67

问题设f(x)在[0，1]上连续，且满足f(0)=1，f’(x)=f(x)+ax一a，求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．

选项

答案方程f’(x)=f(x)+ax一a可以改写为 f’(x)一f(x)=ax一a，则 f(x)=e^x[∫e^一x(ax一a)dx+C] =e^x(一axe^一x+C)=Ce^x一ax．由f(0)=1知C=1，所以 f(x)=e^x一ax． V_x(a)=π∫₀¹(e^x一ax)² dx=π∫₀¹(a² x²—2axe^x+e^2x)dx [*] 将V_x(a)对a求导数，并令V_x^’(a)=[*]=0，得a=3．又由V_x^"(a)=[*]＞0知，当a=3时，V_x取最小值，即所求旋转体体积最小，此时f(x)=e^x3x．

解析先求解一阶微分方程，求出f(x)，再求旋转体体积，最后求其最值．
注意求解一阶线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)，不少考生将通解公式
y=e^一∫P(x)dx[∫Q(x) ^一∫P(x)dxdx+C]
错记为
y=e^一∫P(x)dx[∫Q(x) e^一∫P(x)dxdx+C]，
从而导致结果错误．

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考研数学三

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设f(x)在[0，1]上连续，且满足f(0)=1，f’(x)=f(x)+ax一a，求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．

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