2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且满足f(0)=1，f’(x)=f(x)+ax一a，求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．

设f(x)在[0，1]上连续，且满足f(0)=1，f’(x)=f(x)+ax一a，求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．

admin2016-12-16  111
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且满足f(0)=1，f’(x)=f(x)+ax一a，求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．
选项
答案方程f’(x)=f(x)+ax一a可以改写为 f’(x)一f(x)=ax一a， 则 f(x)=ex[∫e一x(ax一a)dx+C] =ex(一axe一x+C)=Cex一ax． 由f(0)=1知C=1，所以 f(x)=ex一ax． Vx(a)=π∫01(ex一ax)2 dx=π∫01(a2 x2—2axex+e2x)dx [*] 将Vx(a)对a求导数，并令Vx’(a)=[*]=0，得a=3．又由Vx"(a)=[*]＞0知，当a=3时，Vx取最小值，即所求旋转体体积最小，此时f(x)=ex3x．
解析 先求解一阶微分方程，求出f(x)，再求旋转体体积，最后求其最值．
注意  求解一阶线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)，不少考生将通解公式
y=e一∫P(x)dx[∫Q(x) 一∫P(x)dxdx+C]
错记为
y=e一∫P(x)dx[∫Q(x) e一∫P(x)dxdx+C]，
从而导致结果错误．
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考研数学三

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