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设f(x)在[0,1]上连续,且满足f(0)=1,f’(x)=f(x)+ax一a,求f(x),并求a的值使曲线y=f(x)与x=0,y=0,x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小.
设f(x)在[0,1]上连续,且满足f(0)=1,f’(x)=f(x)+ax一a,求f(x),并求a的值使曲线y=f(x)与x=0,y=0,x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小.
admin
2016-12-16
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问题
设f(x)在[0,1]上连续,且满足f(0)=1,f’(x)=f(x)+ax一a,求f(x),并求a的值使曲线y=f(x)与x=0,y=0,x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小.
选项
答案
方程f’(x)=f(x)+ax一a可以改写为 f’(x)一f(x)=ax一a, 则 f(x)=e
x
[∫e
一x
(ax一a)dx+C] =e
x
(一axe
一x
+C)=Ce
x
一ax. 由f(0)=1知C=1,所以 f(x)=e
x
一ax. V
x
(a)=π∫
0
1
(e
x
一ax)
2
dx=π∫
0
1
(a
2
x
2
—2axe
x
+e
2x
)dx [*] 将V
x
(a)对a求导数,并令V
x
’
(a)=[*]=0,得a=3.又由V
x
"
(a)=[*]>0知,当a=3时,V
x
取最小值,即所求旋转体体积最小,此时f(x)=e
x
3x.
解析
先求解一阶微分方程,求出f(x),再求旋转体体积,最后求其最值.
注意 求解一阶线性微分方程y’+P(x)y=Q(x),不少考生将通解公式
y=e
一∫P(x)dx
[∫Q(x)
一∫P(x)dx
dx+C]
错记为
y=e
一∫P(x)dx
[∫Q(x) e
一∫P(x)dx
dx+C],
从而导致结果错误.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mnH4777K
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考研数学三
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