设f(x)在[0，1]上连续，且满足f(0)=1，f’(x)=f(x)+ax一a，求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．

admin2016-12-16 124

问题设f(x)在[0，1]上连续，且满足f(0)=1，f’(x)=f(x)+ax一a，求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．

选项

答案方程f’(x)=f(x)+ax一a可以改写为 f’(x)一f(x)=ax一a，则 f(x)=e^x[∫e^一x(ax一a)dx+C] =e^x(一axe^一x+C)=Ce^x一ax．由f(0)=1知C=1，所以 f(x)=e^x一ax． V_x(a)=π∫₀¹(e^x一ax)² dx=π∫₀¹(a² x²—2axe^x+e^2x)dx [*] 将V_x(a)对a求导数，并令V_x^’(a)=[*]=0，得a=3．又由V_x^"(a)=[*]＞0知，当a=3时，V_x取最小值，即所求旋转体体积最小，此时f(x)=e^x3x．

解析先求解一阶微分方程，求出f(x)，再求旋转体体积，最后求其最值．
注意求解一阶线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)，不少考生将通解公式
y=e^一∫P(x)dx[∫Q(x) ^一∫P(x)dxdx+C]
错记为
y=e^一∫P(x)dx[∫Q(x) e^一∫P(x)dxdx+C]，
从而导致结果错误．

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mnH4777K

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设f(x)在[0，1]上连续，且满足f(0)=1，f’(x)=f(x)+ax一a，求f(x)，并求a的值使曲线y=f(x)与x=0，y=0，x=1所围平面图形绕x轴旋转一周所得的体积最小．

考研数学三

设函数f(x)=1/(ex/(x-1)-1)，则

设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是__________.

求其中D是由圆x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所围成的平面区域.

计算二重积分sin(x2+y2)dxdy,其中积分区域D={（x，y）丨x2+y2≤π}

设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b，证明：(b－a)2．

设总体X的概率密度为而X1，X2…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_________．

D是正方形区域，因在D上被积函数分块表示为[*]

根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

男性患者，65岁，因头昏乏力1年入院，入院查血常规，血红蛋白70g／L，红细胞2．90×1012／L，血小板100×109／L，白细胞4．8×109／L，MCV102fl，MCH34pg。查肝功能，AL54μmol／L，总胆红素43μmol／L，直接胆红素

在精神分析中，治疗师会潜意识恋慕或憎恨患者，称为

一般情况下，细菌适宜在微酸性条件下生长。()

吹填工程中的吹填容积量可以采用()等方法计算。

()是指保证人和债权人约定，当债务人不履行债务时，保证人按照约定履行债务或者承担责任的行为。

熔点越高，脂肪越容易消化。()

下面四个图形，按方格线作折痕，能折成一个正方体的是______。

简述反应时的影响因素。

证明程序正确最常用的方法是______，它对程序提出一组命题，如在数学上证明这些命题不成立，就能保证程序不发生错误。