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设z=f,其中f二阶连续可导,又f(0)=1,f’(0)=,且满足 (Ⅰ)求f(x); (Ⅱ)求曲线L:y=f(x)(x≥0)绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.
设z=f,其中f二阶连续可导,又f(0)=1,f’(0)=,且满足 (Ⅰ)求f(x); (Ⅱ)求曲线L:y=f(x)(x≥0)绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.
admin
2021-03-18
23
问题
设z=f
,其中f二阶连续可导,又f(0)=1,f’(0)=
,且满足
(Ⅰ)求f(x);
(Ⅱ)求曲线L:y=f(x)(x≥0)绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.
选项
答案
(Ⅰ)令r=[*],则[*] 同理[*] 代入得f"(r)-f(r)=re
-x
,即f(x)满足的微分方程为f"(x)-f(x)=xe
-x
, 特征方程为λ
2
-1=0,特征值为λ
1
=-1,λ
2
=1, 故f"(x)-f(x)=0的通解为f(x)=C
1
e
-x
+C
2
e
x
, 令f"(x)-f(x)=xe
-x
的特解为f
0
(x)=(ax
2
+bx)e
-x
,代入得[*] 故f"(x)-f(x)=xe
-x
的通解为 f(x)=C
1
e
-x
+C
2
e
x
-[*] 再由f(0)=1,f’(0)=[*]得C
1
=1,C
2
=0, 故f(x)=e
-x
-[*] (Ⅱ)V=π∫
0
+∞
f
2
(x)dx=∫
0
+∞
[*] 而∫
0
+∞
e
-2x
dx=[*]∫
0
+∞
e
-2x
d(2x)=[*], [*]
解析
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考研数学二
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