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求二元函数F(x,y)=zye-(x2+y2)在区域D={(x,y)|x≥0,y≥0}上的最大值与最小值.
求二元函数F(x,y)=zye-(x2+y2)在区域D={(x,y)|x≥0,y≥0}上的最大值与最小值.
admin
2014-02-06
90
问题
求二元函数F(x,y)=zye
-(x
2
+y
2
)
在区域D={(x,y)|x≥0,y≥0}上的最大值与最小值.
选项
答案
区域D在平面直角坐标系Oxy上的第一象限,区域D有两条边界F
1
={(x,0)}x≥0}与F
2
={(0,y)|y≥0},它们分别是平面直角坐标系Oxy的x轴与y轴的正半轴.在这两条边界上F(x,y)=0.又因[*]由于当x
2
+y
2
→+∞时[*],从而又有[*]是[*]在区域D内,由于[*]仅有唯一解[*],这表明F(x,y)在区域D内仅有唯一驻点[*]在此点处[*]注意[*]比F(x,y)在D的两条边界上的函数值以及当(x,y)在区域内趋向无限远处函数F(x,y)的极限值都要大,可见[*]是F(x,y)在。上的最大值又因在DEF(x,y)非负,所以其最小值在x轴与y轴的正半轴上取到,即F(x,y)在D上的最小值为0.
解析
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考研数学三
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