设αi=(ai1,ai2,…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关。已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组的线性相关性。

admin2021-12-15 53

问题设α_i=(a_i1,a_i2,…，a_in)^T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α₁，α₂，…，α_r线性无关。已知β=(b₁，b₂，…，b_n)^T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组的线性相关性。

选项

答案设k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+lβ=0(*) 因为β为方程组的非0解，有 [*] 即β≠0，β^Tα₁=0，…，β^Tα_r=0。用β^T左乘(*)，并把β^Tα_i=0代入，得lβ^Tβ=0。因为β≠0，有β^Tβ＞0，故必有l=0 从而(*)式为k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r=0，由于α₁，α₂，…，α_r线性无关，所以有 k₁=k₂=…=k_r=0。因此向量组α₁，α₂，…，α_r，β线性无关。

解析

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经济类联考综合能力

专业硕士

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设αi=(ai1,ai2,…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关。已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组的线性相关性。

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