设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关。已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组的线性相关性。

admin2021-12-15  28

问题 设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关。已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组

的非零解向量,试判断向量组的线性相关性。

选项

答案设k1α1+k2α2+…+krαr+lβ=0(*) 因为β为方程组的非0解,有 [*] 即β≠0,βTα1=0,…,βTαr=0。 用βT左乘(*),并把βTαi=0代入,得lβTβ=0。 因为β≠0,有βTβ>0,故必有l=0 从而(*)式为k1α1+k2α2+…+krαr=0,由于α1,α2,…,αr线性无关,所以有 k1=k2=…=kr=0。 因此向量组α1,α2,…,αr,β线性无关。

解析
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