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已知三元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx其矩阵A各行元素之和均为0，且满足AB+B=0，其中 (I)用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值。
已知三元二次型f(x1，x2，x3)=xTAx其矩阵A各行元素之和均为0，且满足AB+B=0，其中 (I)用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； (Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值。
admin
2015-04-30
36
问题
已知三元二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
T
Ax其矩阵A各行元素之和均为0，且满足AB+B=0，其中
(I)用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换；
(Ⅱ)若A+kE正定，求k的取值。
选项
答案
(Ⅰ)因为A各行元素之和均为0，即 [*] 由此可知λ=0是A的特征值，α
1
=(1，1，1)
T
是λ=0的特征向量． 由AB=一B知一1是A的特征值，α
2
=(1，0，一1)
T
，α
3
=(0，1，一1)
T
是A=一1的线性无关的特征向量． 因为α
2
，α
3
不正交，将其正交化有 [*] (Ⅱ)因为A的特征值为一1，一1，0，所以A+kE的特征值为k一1，k一1，k．那么A+kE正定的充分必要条件是k＞1．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oFU4777K
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考研数学三
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