设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，F(x)=∫abf(t)dt一∫xbdt．证明： (1)F’(x)＞0； (2)F(x)=0在[a，b]内有唯一实根．

admin2017-08-22 6

问题设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，F(x)=∫_a^bf(t)dt一∫_x^b

dt．
证明：
(1)F’(x)＞0；
(2)F(x)=0在[a，b]内有唯一实根．

选项

答案(1)[*] 故F(x)＞0． (2)由F’(x)＞0，知F(x)在[a，b]上单调增加，故F(x)在[a，b]中最多有一个零点，即方程F(x)=0最多有一个实根．又因F(a)=一∫_a^b[*]＜0，F(b)=∫_a^bf(t)dt＞0 故由零点定理知F(x)在[a，b]内至少有一个零点，即至少有一个ξ∈(a，b)使得F(ξ)=0．这也说明方程F(x)=0在[a，b]内至少有一个实根．综上所述，F(x)=0在[a，b]内有唯一实根．

解析

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