2. 考研
  3. A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且 (Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵A。

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且 (Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵A。

admin2021-01-15  11
问题 A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且

(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量；
(Ⅱ)求矩阵A。
选项
答案(Ⅰ)由于 [*] 可设α1=(1，0，一1)T，α2=(1，0，1)T，则 A(α1，α2)=(－α1，α2)，即Aα1=－α1，Aα2=α2，A的特征值为λ1=－1，λ2=1，对应的特征向量分别为k1α1(k1≠0)，k2α2(k2≠0)。 由r(A)=2可知，｜A ｜=0，所以λ3=0。 根据实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交可设λ3=0对应的特征向量为α3= (x1，x2，x3)T，则 [*] 解得α3=(0，1，0)T，故λ3=0对应的特征向量为k3α3(k3≠0)。 (Ⅱ)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，故只需单位化，即 [*] 令Q=(β1，β2，β3)，则QTAQ=A= [*]
解析
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考研数学一

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