已知矩阵有三个线性无关的特征向量,求a的值,并求An.

admin2014-02-06  54

问题 已知矩阵有三个线性无关的特征向量,求a的值,并求An

选项

答案由矩阵A的特征多项式[*]可知矩阵A的特征值是1,1,2.因为A有3个线性无关的特征向量,故A可化为相似对角矩阵.对应重根λ12=1,应该有2个线性无关的特征向量.于是r(1一E—A)=3—2=1,即r(E—A)=1.又[*]故a=1.由(E—A)x=0,即[*]得基础解系α1=(1,0,1)T,α2=(0,1,0)T.由(2E—A)x=0,即[*]得基础解系α3=(2,一1,3)T.那么令P=(α1,α2,α3),有P-1AP=A=[*]从而A=PAP-1.于是An=PAnP-1[*]

解析
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