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设α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，且α，β是正交向量． 试求：(Ⅰ)｜A｜；(Ⅱ)A3；(Ⅲ)A－1．
设α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，且α，β是正交向量． 试求：(Ⅰ)｜A｜；(Ⅱ)A3；(Ⅲ)A－1．
admin
2019-01-24
23
问题
设α＝(a
1
，a
2
，a
3
)
T
，β＝(b
1
，b
2
，b
3
)
T
，且α，β是正交向量．
试求：(Ⅰ)｜A｜；(Ⅱ)A
3
；(Ⅲ)A
－1
．
选项
答案
(Ⅰ)因为α，β正交，所以α
T
β＝a
1
b
1
＋a
2
b
2
＋a
3
b
3
＝[*]＝0． [*] (Ⅱ)由题设易知A＝E＋αβ
T
，A
3
＝(E＋αβ
T
)
3
＝E
3
＋3E
2
αβ
T
＋3E(αβ
T
)
2
＋(αβ
T
)
3
，其中 β
T
α＝α
T
β＝0，故A
3
＝E＋3αβ
T
，其中αβ
T
＝[*]． (Ⅲ)由 A
2
＝(E＋αβ
T
)
2
＝E
2
＋2Eαβ
T
＋(αβ
T
)
2
＝E＋2αβ
T
＝2E＋2αβ
T
－E＝2A－E． 因此 A
2
－2A＝－E，A(A－2E)＝－E，A(2E－A)＝E． 故 A
－1
＝2E－A＝2E－(E＋αβ
T
)＝E－αβ
T
， 其中[*]
解析
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考研数学一
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