2. 考研
  3. 设α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，且α，β是正交向量． 试求：(Ⅰ)｜A｜；(Ⅱ)A3；(Ⅲ)A－1．

设α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，且α，β是正交向量． 试求：(Ⅰ)｜A｜；(Ⅱ)A3；(Ⅲ)A－1．

admin2019-01-24  18
问题 设α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，且α，β是正交向量．

试求：(Ⅰ)｜A｜；(Ⅱ)A3；(Ⅲ)A－1．
选项
答案(Ⅰ)因为α，β正交，所以αTβ＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝[*]＝0． [*] (Ⅱ)由题设易知A＝E＋αβT，A3＝(E＋αβT)3＝E3＋3E2αβT＋3E(αβT)2＋(αβT)3，其中 βTα＝αTβ＝0，故A3＝E＋3αβT，其中αβT＝[*]． (Ⅲ)由 A2＝(E＋αβT)2＝E2＋2EαβT＋(αβT)2 ＝E＋2αβT＝2E＋2αβT－E＝2A－E． 因此 A2－2A＝－E，A(A－2E)＝－E，A(2E－A)＝E． 故 A－1＝2E－A＝2E－(E＋αβT)＝E－αβT， 其中[*]
解析
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考研数学一

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