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(I)设随机变量x服从指数分布e(λ),证明:对任意非负实数s及t,有 P(X≥s+t|X≥s)=P(X≥t). 这个性质叫做指数分布的无记忆性. (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从指数分布e(0.1),某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上
(I)设随机变量x服从指数分布e(λ),证明:对任意非负实数s及t,有 P(X≥s+t|X≥s)=P(X≥t). 这个性质叫做指数分布的无记忆性. (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从指数分布e(0.1),某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上
admin
2016-01-12
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问题
(I)设随机变量x服从指数分布e(λ),证明:对任意非负实数s及t,有
P(X≥s+t|X≥s)=P(X≥t).
这个性质叫做指数分布的无记忆性.
(Ⅱ)设电视机的使用年数X服从指数分布e(0.1),某人买了一台旧电视机,求还能使用5年以上的概率.
选项
答案
(I)已知随机变量X服从指数分布,对于任意的非负实数,根据指数分布的分布函数F(x) =1一e
-λx
,根据结论 [*] 对任意非负实数s及t,有 [*] 因为X是连续的随机变量,根据分布函数的定义,对任意实数x,有 P(X<x)=P(X≤x)=F(x). P(X≥t)=1一P(X<t)=1一P(X≤t)=1一F(t)=1一(1一e
-λt
)=e
-λt
,因此可得P(x≥s+t|X≥s)=P(X≥t)成立. (Ⅱ)已知电子仪器的使用年数服从指数分布X—e(0.1),则其概率分布函数为 [*] 根据(I)的结论, P(X≥s+t |X≥s)=P(X≥t)=e
-λt
, 假设某人买回来的电视机已经用了x年,则它还可以使用五年以上的概率为 P(X≥x+5 | X≥5)=P(X≥5)=e
-0.1×5
=e
-0.5
≈0.6065.
解析
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考研数学三
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