2. 考研
  3. 求下列旋转体的体积V： (Ⅰ)由曲线y＝χ2，y＝y*所围图形绕χ轴旋转所成旋转体； (Ⅱ)由曲线χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．

求下列旋转体的体积V： (Ⅰ)由曲线y＝χ2，y＝y*所围图形绕χ轴旋转所成旋转体； (Ⅱ)由曲线χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．

admin2021-11-09  135
问题 求下列旋转体的体积V：
    (Ⅰ)由曲线y＝χ2，y＝y*所围图形绕χ轴旋转所成旋转体；
    (Ⅱ)由曲线χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．
选项
答案(Ⅰ)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为 [*] (Ⅱ)如图3．3，所求体积为 V＝2π∫02πayχdχ＝2π∫02πa(1－cost )a(1－cost)a(t－sint)a(1－cost)dt ＝2πa3∫02π(1－cost)2(t－sint)dt ＝2πa3∫02π(1－cost)2tdt－2πa3∫－ππ(1－cost)2sintdt ＝2πa3∫02π(1－cost)ttdt [*]2πa3∫－ππ[1－cos(u＋π)]2(u＋π)du ＝2πa∫－ππ(1＋cosu)2udu＋2π2a3∫－ππ(1＋cosu)2du ＝4π2a3∫0π(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋2cosu＋cos2u)du＝4π2a3(π＋[*])＝6π3a3． [*]
解析
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考研数学二

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