2. 考研
  3. 设函数F(x，y)在(x0，y0)的某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y0)=F′x(x0，y0)=0， F′y(x0，y0)＞0，F″xx(x0，y0)＜0． 由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续

设函数F(x，y)在(x0，y0)的某邻域有连续的二阶偏导数，且 F(x0，y0)=F′x(x0，y0)=0， F′y(x0，y0)＞0，F″xx(x0，y0)＜0． 由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续

admin2015-12-22  24
问题 设函数F(x，y)在(x0，y0)的某邻域有连续的二阶偏导数，且
    F(x0，y0)=F′x(x0，y0)=0，  F′y(x0，y0)＞0，F″xx(x0，y0)＜0．
    由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，则(    )．
选项 A、y(x)以x=x0为极大值点
B、y(x)以x=x0为极小值点
C、y(x)在x=x0不取极值
D、(x0，y(x0))是曲线y=y(x)的拐点
答案B
解析 利用隐函数的求导法则及已知条件，如能证明y′(x0)=0，y″(x0)＞0，则x0为y(x)的极小值点．
    解  按隐函数求导法知，y′(x)满足
            
令x=x0，相应地y=y0，因
    F′x(x0，y0)=0，
    F′y(x0，y0)＞0，
    故y′(x0)=0．将上式再对x求导，并注意y=y(x)，即得
       
再令x=x0，相应地y=y0．由y′(x0)=0，F′y(x0，y0)＞0，得到
   
因
       
得y″(x0)＞0．因此，x=x0是y=y(x)的极小值点．
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考研数学二

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