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设函数F(x,y)在(x0,y0)的某邻域有连续的二阶偏导数,且 F(x0,y0)=F′x(x0,y0)=0, F′y(x0,y0)>0,F″xx(x0,y0)<0. 由方程F(x,y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x),它有连续
设函数F(x,y)在(x0,y0)的某邻域有连续的二阶偏导数,且 F(x0,y0)=F′x(x0,y0)=0, F′y(x0,y0)>0,F″xx(x0,y0)<0. 由方程F(x,y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x),它有连续
admin
2015-12-22
19
问题
设函数F(x,y)在(x
0
,y
0
)的某邻域有连续的二阶偏导数,且
F(x
0
,y
0
)=F′
x
(x
0
,y
0
)=0, F′
y
(x
0
,y
0
)>0,F″
xx
(x
0
,y
0
)<0.
由方程F(x,y)=0在x
0
的某邻域确定的隐函数y=y(x),它有连续的二阶导数,且y(x
0
)=y
0
,则( ).
选项
A、y(x)以x=x
0
为极大值点
B、y(x)以x=x
0
为极小值点
C、y(x)在x=x
0
不取极值
D、(x
0
,y(x
0
))是曲线y=y(x)的拐点
答案
B
解析
利用隐函数的求导法则及已知条件,如能证明y′(x
0
)=0,y″(x
0
)>0,则x
0
为y(x)的极小值点.
解 按隐函数求导法知,y′(x)满足
令x=x
0
,相应地y=y
0
,因
F′
x
(x
0
,y
0
)=0,
F′
y
(x
0
,y
0
)>0,
故y′(x
0
)=0.将上式再对x求导,并注意y=y(x),即得
再令x=x
0
,相应地y=y
0
.由y′(x
0
)=0,F′
y
(x
0
,y
0
)>0,得到
因
得y″(x
0
)>0.因此,x=x
0
是y=y(x)的极小值点.
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考研数学二
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