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设函数f(x)在[0,1]上连续,并且对于[0,1]上的任意x所对应的函数值f(x)均为0≤f(x)≤1,证明:在[0,1]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=ξ.
设函数f(x)在[0,1]上连续,并且对于[0,1]上的任意x所对应的函数值f(x)均为0≤f(x)≤1,证明:在[0,1]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=ξ.
admin
2015-04-07
21
问题
设函数f(x)在[0,1]上连续,并且对于[0,1]上的任意x所对应的函数值f(x)均为0≤f(x)≤1,证明:在[0,1]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=ξ.
选项
答案
令F(x)=f(x)-x,由于f(x)在[0,1]上连续,故F(x)在[0,1]上也连续.F(0)=f(0)-0=f(0),F(1)=f(1)-1.而对[*]x∈[0,1],0≤f(x)≤1,故F(0)≥0,F(1)≤0. 若F(0)=0,即f(0)-0=0,f(0)=0,则ξ=0; 若F(1)=0,即f(1)-1=0,f(1)=1,则ξ=1; 当F(0)≠0,F(1)≠0时, F(0).F(1)<0,而F(x)在[0,1]上连续,故根据零点定理百得,至少存在一点ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0,即f(ξ)-ξ=0,f(ξ)=ξ. 综上,在[0,1]上至少存在一点ξ,使得f(ξ)=ξ.
解析
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数学题库普高专升本分类
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数学
普高专升本
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