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以下4个命题,正确的个数为 ( ) ①设f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛,且∫-∞+∞ f(x)dx=0; ②设f(x)在(一∞,+∞)上连续,且存在,则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛,且∫-∞+∞ f(x)
以下4个命题,正确的个数为 ( ) ①设f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛,且∫-∞+∞ f(x)dx=0; ②设f(x)在(一∞,+∞)上连续,且存在,则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛,且∫-∞+∞ f(x)
admin
2015-07-22
106
问题
以下4个命题,正确的个数为 ( )
①设f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,则∫
-∞
+∞
f(x)dx必收敛,且∫
-∞
+∞
f(x)dx=0;
②设f(x)在(一∞,+∞)上连续,且
存在,则∫
-∞
+∞
f(x)dx必收敛,且∫
-∞
+∞
f(x)dx=
③若∫
-∞
+∞
f(x)dx与∫
-∞
+∞
g(x)dx都发散,∫
-∞
+∞
g(x)dx未必发散;
④若∫
-∞
0
f(x)dx与∫
0
+∞
f(x)dx都发散,则∫
-∞
+∞
f(x)dx未必发散.
选项
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案
A
解析
∫
-∞
+∞
f(x)dx收敛
存在常数a,使∫
-∞
a
f(x)dx和∫
a
-∞
f(x)dx都收敛,此时
∫
-∞
+∞
f(x)dx=∫
-∞
a
f(x)dx+∫
a
+∞
f(x)dx.
设f(x)=x,则f(x)是(一∞,+∞)上连续的奇函数,且
但是
∫
-∞
0
f(x)dx=∫
-∞
0
xdx=∞,∫
0
+∞
f(x)dx=∫
0
+∞
xdx=∞,故∫
-∞
+∞
f(x)dx发散,这表明命题①,②,④都不是真命题.
设f(x)=x,g(x)=一x,由上面讨论可知∫
-∞
+∞
f(x)dx与∫
-∞
+∞
g(x)dx都发散,但∫
-∞
+∞
[f(x)+ g(x)]dx收敛,这表明命题③是真命题。故应选(A).
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考研数学三
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