以下4个命题，正确的个数为 ( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞ f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞ f(x)

admin2015-07-22 105

问题以下4个命题，正确的个数为 ( )
①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫_-∞^+∞ f(x)dx必收敛，且∫_-∞^+∞ f(x)dx=0；
②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且

存在，则∫_-∞^+∞ f(x)dx必收敛，且∫_-∞^+∞ f(x)dx=

③若∫_-∞^+∞ f(x)dx与∫_-∞^+∞ g(x)dx都发散，∫_-∞^+∞ g(x)dx未必发散；
④若∫_-∞⁰ f(x)dx与∫₀^+∞ f(x)dx都发散，则∫_-∞^+∞ f(x)dx未必发散．

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案A

解析 ∫_-∞^+∞f(x)dx收敛

存在常数a，使∫_-∞^a f(x)dx和∫_a^-∞
  f(x)dx都收敛，此时
      ∫_-∞^+∞  f(x)dx=∫_-∞^a f(x)dx+∫_a^+∞ f(x)dx．
      设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且

但是
∫_-∞⁰f(x)dx=∫_-∞⁰xdx=∞，∫₀^+∞ f(x)dx=∫₀^+∞ xdx=∞，故∫_-∞^+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．
设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫_-∞^+∞ f(x)dx与∫_-∞^+∞ g(x)dx都发散，但∫_-∞^+∞ [f(x)+ g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题。故应选(A)．

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考研数学三

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