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对于数列{xn},从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为a1,公差为d的无穷等差数列的子数列{an}问题,为此,他取了其中第一项a1,第三项a3和第五项a5. 在
对于数列{xn},从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为a1,公差为d的无穷等差数列的子数列{an}问题,为此,他取了其中第一项a1,第三项a3和第五项a5. 在
admin
2018-12-31
49
问题
对于数列{x
n
},从中选取若干项,不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后,打算研究首项为a
1
,公差为d的无穷等差数列的子数列{a
n
}问题,为此,他取了其中第一项a
1
,第三项a
3
和第五项a
5
.
在a
1
=1,d=3的无穷等差数列{a
n
}中,是否存在无穷子数列{b
n
},使得数列{b
n
}为首项为a
1
公比为4的等比数列?若存在,请给出数列{b
n
}的通项公式并证明;若不存在,说明理由.
选项
答案
由题意可得,此时原无穷等差数列的通项公式为a
n
=3n—2, 设存在数列{b
n
}满足条件,则其通项公式为b
n
=a
1
q
n—1
=4
n—1
, 又因为数列{b
n
}是数列{a
n
}的子数列,故数列{b
n
}中的每一项都应符合数列{a
n
}的通项公式, 故4
k—1
=3n—2,即n=[*](k∈N
+
). 又因为n∈N
+
,故原题目转化为证明对于[*]∈N
+
,4
k—1
+2均能被3整除, 当k=1时,4
k—1
+2=1+2=3,能被3整除, 当k≥2,且k∈N
+
时, 4
k—1
+2=(3+1)
k—1
+2 =C
k—1
0
.3
k—1
+C
k—1
1
.3
k—2
+ … +C
k—1
k—2
.3+C
k—1
k—1
+2 =3P+1+2 =3P+3(P∈N
+
) 所以4
k—1
+2能被3整除, 故对于[*]∈N
+
,4
k—1
+2均能被3整除. 所以无穷数列{b
n
}是无穷数列{a
n
}的子数列. 所以在a
1
=1,d=3的无穷等差数列{a
n
}中,存在无穷子数列{b
n
},使得数列{b
n
}为首项为a
1
,公比为4的等比数列.
解析
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