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设f’(x0)=f"(x0)=0,f"(x0)>0,则下列选项正确的是( ).
设f’(x0)=f"(x0)=0,f"(x0)>0,则下列选项正确的是( ).
admin
2019-06-11
33
问题
设f’(x
0
)=f"(x
0
)=0,f"(x
0
)>0,则下列选项正确的是( ).
选项
A、f’(x
0
)是f’(x)的极大值
B、f(x
0
)是f(x)的极大值
C、f(x
0
)是f(x)的极小值
D、(x
0
,f(x
0
))是曲线y=f(x)的拐点
答案
D
解析
需注意如果f"(x
0
)=0,则判定极值的第二充分条件失效.
如果记F(x)=f’(x),由题设条件有F’(x
0
)=0,F"(x
0
)>0.由极值的第二充分条件知F(x
0
)为F(x)的极小值,即f’(x
0
)为f’(x)的极小值,因此A不正确,排除A.
取f(x)=x
3
,则f’(x)=3x
2
,f"(x)=6x,f"’(x)=6.因此f’(0)=f"(0)=0,f"’(0)=6>0.而x=0既不为.f(x)=x
3
的极小值,也不为f(x)=x
3
的极大值,可知B,C都不正确,排除B,C.
由于f"’(x
0
)>0,知f"(x)在点x
0
处连续,又f"(x
0
)=0,由导数定义可以验证f"(x)在x
0
两侧异号,从而知点(x
0
,f(x
0
))为曲线y=f(x)的拐点.故选D.
利用泰勒公式可以证明下述命题:
若f’(x
0
)=f"(x
0
)=…=f
(n-1)
(x
0
)=0,而f
(n)
(x
0
)≠0,则
(1)当n为偶数时,x
0
为f(x)的极值点,且
①当f
(n)
(x
0
)>0时,x
0
为f(x)的极小值点;
②当f
(n)
(x
0
)<0时,x
0
为f(x)的极大值点.
(2)当n为奇数时,x
0
不为f(x)的极值点.但点(x
0
,f(x
0
))为曲线y=f(x)的拐点.
以后可以将上述结论作为定理使用.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/qMca777K
本试题收录于:
经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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