2. 考研
  3. 设f’(x0)=f"(x0)=0，f"(x0)＞0，则下列选项正确的是( )．

设f’(x0)=f"(x0)=0，f"(x0)＞0，则下列选项正确的是( )．

admin2019-06-11  13
问题 设f’(x0)=f"(x0)=0，f"(x0)＞0，则下列选项正确的是(    )．
选项 A、f’(x0)是f’(x)的极大值
B、f(x0)是f(x)的极大值
C、f(x0)是f(x)的极小值
D、(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点
答案D
解析 需注意如果f"(x0)=0，则判定极值的第二充分条件失效．
如果记F(x)=f’(x)，由题设条件有F’(x0)=0，F"(x0)＞0．由极值的第二充分条件知F(x0)为F(x)的极小值，即f’(x0)为f’(x)的极小值，因此A不正确，排除A．
取f(x)=x3，则f’(x)=3x2，f"(x)=6x，f"’(x)=6．因此f’(0)=f"(0)=0，f"’(0)=6＞0．而x=0既不为．f(x)=x3的极小值，也不为f(x)=x3的极大值，可知B，C都不正确，排除B，C．
由于f"’(x0)＞0，知f"(x)在点x0处连续，又f"(x0)=0，由导数定义可以验证f"(x)在x0两侧异号，从而知点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点．故选D．
利用泰勒公式可以证明下述命题：
若f’(x0)=f"(x0)=…=f(n－1)(x0)=0，而f(n)(x0)≠0，则
(1)当n为偶数时，x0为f(x)的极值点，且
①当f(n)(x0)＞0时，x0为f(x)的极小值点；
②当f(n)(x0)＜0时，x0为f(x)的极大值点．
(2)当n为奇数时，x0不为f(x)的极值点．但点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点．
以后可以将上述结论作为定理使用．
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经济类联考综合能力

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