已知向量组(Ⅰ):α1,α2,α3和向量组(Ⅱ):β1,β2,β3,且 试判断向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否等价,并说明理由.

admin2021-12-15  43

问题 已知向量组(Ⅰ):α1,α2,α3和向量组(Ⅱ):β1,β2,β3,且

试判断向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否等价,并说明理由.

选项

答案由(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)[*], 其转换矩阵为 [*] =4≠0,知A可逆,于是, (α1,α2,α3)=(β1,β2,β3)[*] 即向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)可以互相表示,故(Ⅰ)与(Ⅱ)等价.

解析 本题还可以从秩的角度给出另一种解法,即由(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)A,且A可逆,说明矩阵(β1,β2,β3)是由(α1,α2,α3)右乘可逆矩阵A得到,因此,两向量组秩相等,又β1,β2,β3可被α1,α2,α3线性表示,故两向量组等价.
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