设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有三个不同的特征值，且α3=α1+2α2。若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解。

admin2022-08-12 63

问题设三阶矩阵A=(α₁，α₂，α₃)有三个不同的特征值，且α₃=α₁+2α₂。
若β=α₁+α₂+α₃，求方程组Ax=β的通解。

选项

答案因为r(A)=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系中只有一个非零解向量，由于α₁+2α₂-α₃=0，所以基础解系为x=[1，2，-1]，又由β=α₁+α₂+α₃得非齐次方程组Ax=β的一个特解为[1，1，1]。因此方程组Ax=β的通解为[*]，其中k为任意常数。

解析

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