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  3. 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。

设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。

admin2015-09-15  30
问题 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为

而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。
选项
答案设Y的分布函数为FY(y)，由全概率公式，知U的分布函数为 G(u)=P{U≤u) =P{X+Y≤u)=P{X=1}P{X+Y≤u|X=1|}+P{X=2}P{X+Y≤u|X=2} =0．3P{1+Y≤u|X=1}+0．7P{2+Y≤u|X=2} 因为X与Y相互独立，故 G(u)=0．3P{Y≤u一1)+0．7P{Y≤u一2}=0．3FY(u一1)+0．7Fy(u一2) 故g(U)=G’(U)=0．3F’Y(u一1)+0．7F’Y(u一2)=0．3f(u一1)+0．7f(u一2)。
解析 本题主要考查全概率公式(用在随机变量上)及随机变量独立性的用法。对离散型随机变量X“赋值”(即用全概率公式的一步)，然后又扔掉条件中的(X=1)、(X=2)(由X与Y独立，当然{X=1)与{Y≤u一1}二事件独立，注意{Y≤u一1}中没有X)，是概率论中一常用手法，这里不要套“卷积公式”，不好用。审清题意，f(y)可看作“已知的”，允许出现在最终的答案中，但FY(y)却不行。如果不引FY(y)，用P{Y≤u一1}=∫-∞u-1(t)dt，然后求导也行。
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考研数学三

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