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设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为 而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。
设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为 而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。
admin
2015-09-15
56
问题
设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为
而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。
选项
答案
设Y的分布函数为F
Y
(y),由全概率公式,知U的分布函数为 G(u)=P{U≤u) =P{X+Y≤u)=P{X=1}P{X+Y≤u|X=1|}+P{X=2}P{X+Y≤u|X=2} =0.3P{1+Y≤u|X=1}+0.7P{2+Y≤u|X=2} 因为X与Y相互独立,故 G(u)=0.3P{Y≤u一1)+0.7P{Y≤u一2}=0.3F
Y
(u一1)+0.7F
y
(u一2) 故g(U)=G’(U)=0.3F’
Y
(u一1)+0.7F’
Y
(u一2)=0.3f(u一1)+0.7f(u一2)。
解析
本题主要考查全概率公式(用在随机变量上)及随机变量独立性的用法。对离散型随机变量X“赋值”(即用全概率公式的一步),然后又扔掉条件中的(X=1)、(X=2)(由X与Y独立,当然{X=1)与{Y≤u一1}二事件独立,注意{Y≤u一1}中没有X),是概率论中一常用手法,这里不要套“卷积公式”,不好用。审清题意,f(y)可看作“已知的”,允许出现在最终的答案中,但F
Y
(y)却不行。如果不引F
Y
(y),用P{Y≤u一1}=∫
-∞
u-1
(t)dt,然后求导也行。
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考研数学三
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