已知A是4阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,若A*的特征值是1,—1,3,9,则不可逆矩阵是[ ].

admin2014-09-08  45

问题 已知A是4阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,若A*的特征值是1,—1,3,9,则不可逆矩阵是[    ].

选项 A、A—I
B、A+I
C、A+2I
D、2A+I

答案B

解析 由A*的特征值是1,—1,3,9可得|A*|=—27.又因|A*|=|A|n—1,所以|A|3=—27,即|A|=—3.
    根据性质:如果可逆矩阵A的特征值是λ,其伴随矩阵A*的特征值为λ*,则有λ=.所以A有特征值—3,3,—1,
    因此,A—I的特征值为—4,2,—2,.因A—I的特征值非零,所以A—I可逆.
    A+I的特征值为—2,4,0,.因A+I的特征值中有为0的数,所以A+I不可逆.
    故选B.
    注  (1)解本题时用到了结论:如果λ是方阵A的特征值,则λ+k是A+kI的特征值.
        (2)利用“如果λ是方阵A的特征值,则kλ是kA的特征值”可很容易得出ZA+I的特征值中不含零,所以不选D.
        (3)利用(1)同样可求出A+2I的特征值,显然A+2I的特征值中也不含零,所以不选C.
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