2. 考研
  3. 已知A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，—1，3，9，则不可逆矩阵是[ ]．

已知A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，—1，3，9，则不可逆矩阵是[ ]．

admin2014-09-08  36
问题 已知A是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，—1，3，9，则不可逆矩阵是[    ]．
选项 A、A—I
B、A＋I
C、A＋2I
D、2A＋I
答案B
解析 由A*的特征值是1，—1，3，9可得｜A*｜＝—27．又因｜A*｜＝｜A｜n—1，所以｜A｜3＝—27，即｜A｜＝—3．
    根据性质：如果可逆矩阵A的特征值是λ，其伴随矩阵A*的特征值为λ*，则有λ＝．所以A有特征值—3，3，—1，．
    因此，A—I的特征值为—4，2，—2，．因A—I的特征值非零，所以A—I可逆．
    A＋I的特征值为—2，4，0，．因A＋I的特征值中有为0的数，所以A＋I不可逆．
    故选B．
    注  (1)解本题时用到了结论：如果λ是方阵A的特征值，则λ＋k是A＋kI的特征值．
        (2)利用“如果λ是方阵A的特征值，则kλ是kA的特征值”可很容易得出ZA＋I的特征值中不含零，所以不选D．
        (3)利用(1)同样可求出A＋2I的特征值，显然A＋2I的特征值中也不含零，所以不选C．
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