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已知A是4阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,若A*的特征值是1,—1,3,9,则不可逆矩阵是[ ].
已知A是4阶矩阵,A*是A的伴随矩阵,若A*的特征值是1,—1,3,9,则不可逆矩阵是[ ].
admin
2014-09-08
42
问题
已知A是4阶矩阵,A
*
是A的伴随矩阵,若A
*
的特征值是1,—1,3,9,则不可逆矩阵是[ ].
选项
A、A—I
B、A+I
C、A+2I
D、2A+I
答案
B
解析
由A
*
的特征值是1,—1,3,9可得|A
*
|=—27.又因|A
*
|=|A|
n—1
,所以|A|
3
=—27,即|A|=—3.
根据性质:如果可逆矩阵A的特征值是λ,其伴随矩阵A
*
的特征值为λ
*
,则有λ=
.所以A有特征值—3,3,—1,
.
因此,A—I的特征值为—4,2,—2,
.因A—I的特征值非零,所以A—I可逆.
A+I的特征值为—2,4,0,
.因A+I的特征值中有为0的数,所以A+I不可逆.
故选B.
注 (1)解本题时用到了结论:如果λ是方阵A的特征值,则λ+k是A+kI的特征值.
(2)利用“如果λ是方阵A的特征值,则kλ是kA的特征值”可很容易得出ZA+I的特征值中不含零,所以不选D.
(3)利用(1)同样可求出A+2I的特征值,显然A+2I的特征值中也不含零,所以不选C.
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