如图：已知正方体ABCD—A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点．若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1．

admin2011-01-28 28

问题如图：已知正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，过BD₁的平面分别交棱AA₁和棱CC₁于E、F两点．
若E、F分别是棱AA₁和棱CC₁的中点，求证：平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．

选项

答案∵四边形EBFD₁是平行四边形． AE=A₁E，FC=FC₁， ∴Rt△EAB≌Rt△FCB， ∴BE=BF，故四边形EBFD₁为菱形．连结EF、BD₁、A₁C₁． ∵四边形EBFD1为菱形， ∴EF⊥BD₁．在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，有B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥A₁A ∴B₁D₁⊥平面A₁ACC₁．又EF平面A₁ACC₁， ∴EF⊥B₁D₁．又B₁D₁∩BD₁=D₁， ∴EF⊥平面BB₁D₁．又EF平面EBFD₁，故平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．

解析

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如图：已知正方体ABCD—A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点．若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1．

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