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(Ⅰ)设f(χ)在(a,+∞)可导且f′(χ)=A,求证:若A>0,则f(χ)=+∞;若A<0,则)f(χ)=-∞. (Ⅱ)设g(χ)在[a,+∞)连续,且∫a+∞g(χ)dχ收敛,又g(χ)=1,求证l=0.
(Ⅰ)设f(χ)在(a,+∞)可导且f′(χ)=A,求证:若A>0,则f(χ)=+∞;若A<0,则)f(χ)=-∞. (Ⅱ)设g(χ)在[a,+∞)连续,且∫a+∞g(χ)dχ收敛,又g(χ)=1,求证l=0.
admin
2017-11-21
23
问题
(Ⅰ)设f(χ)在(a,+∞)可导且
f′(χ)=A,求证:若A>0,则
f(χ)=+∞;若A<0,则
)f(χ)=-∞.
(Ⅱ)设g(χ)在[a,+∞)连续,且∫
a
+∞
g(χ)dχ收敛,又
g(χ)=1,求证l=0.
选项
答案
(Ⅰ)联系f(χ)与f′(χ)的是拉格朗日中值定理,取χ
0
∈(a,+∞),[*]χ>χ
0
有 f(χ)=f(χ
0
)+f′(ξ)(χ-χ
0
)(χ
0
<ξ<χ). (*) 下面估计f′(ξ):由[*]f′(χ)=A,设A>0,由极限的不等式性质[*]>a,当χ>X时f′(χ)>[*].现取定χ
0
>X,当χ>χ
0
时,由于ξ>χ
0
>X,有f′(ξ)>[*],于是由(*)式得 f(χ)>f(χ
0
)+[*](χ-χ
0
)(χ>χ
0
). 又因[*]=+∞,所以[*]=+∞. 若A<0,考察g(χ)=-f(χ),则g′(χ)=-f′(χ), [*] 由已证结论知[*]g(χ)=+∞, 于是[*]=-∞. (Ⅱ)记f(χ)=∫
a
χ
g(t)dt,则f(χ)在[a,+∞)内可导且f′(χ)=g(χ), [*] 若l≠0,则l>0或<0,由题(Ⅰ)得[*]f(χ)∫
a
+∞
g(t)dt=+∞(或-∞),与∫
a
+∞
g(t)dt收敛矛盾. 因此l=0.
解析
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考研数学二
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