2. 考研
  3. (Ⅰ)设f(χ)在(a，＋∞)可导且f′(χ)＝A，求证：若A＞0，则f(χ)＝＋∞；若A＜0，则)f(χ)＝－∞． (Ⅱ)设g(χ)在[a，＋∞)连续，且∫a＋∞g(χ)dχ收敛，又g(χ)＝1，求证l＝0．

(Ⅰ)设f(χ)在(a，＋∞)可导且f′(χ)＝A，求证：若A＞0，则f(χ)＝＋∞；若A＜0，则)f(χ)＝－∞． (Ⅱ)设g(χ)在[a，＋∞)连续，且∫a＋∞g(χ)dχ收敛，又g(χ)＝1，求证l＝0．

admin2017-11-21  25
问题 (Ⅰ)设f(χ)在(a，＋∞)可导且f′(χ)＝A，求证：若A＞0，则f(χ)＝＋∞；若A＜0，则)f(χ)＝－∞．
    (Ⅱ)设g(χ)在[a，＋∞)连续，且∫a＋∞g(χ)dχ收敛，又g(χ)＝1，求证l＝0．
选项
答案(Ⅰ)联系f(χ)与f′(χ)的是拉格朗日中值定理，取χ0∈(a，＋∞)，[*]χ＞χ0有 f(χ)＝f(χ0)＋f′(ξ)(χ－χ0)(χ0＜ξ＜χ)． (*) 下面估计f′(ξ)：由[*]f′(χ)＝A，设A＞0，由极限的不等式性质[*]＞a，当χ＞X时f′(χ)＞[*]．现取定χ0＞X，当χ＞χ0时，由于ξ＞χ0＞X，有f′(ξ)＞[*]，于是由(*)式得 f(χ)＞f(χ0)＋[*](χ－χ0)(χ＞χ0)． 又因[*]＝＋∞，所以[*]＝＋∞． 若A＜0，考察g(χ)＝－f(χ)，则g′(χ)＝－f′(χ)， [*] 由已证结论知[*]g(χ)＝＋∞， 于是[*]＝－∞． (Ⅱ)记f(χ)＝∫aχ g(t)dt，则f(χ)在[a，＋∞)内可导且f′(χ)＝g(χ)， [*] 若l≠0，则l＞0或＜0，由题(Ⅰ)得[*]f(χ)∫a＋∞g(t)dt＝＋∞(或－∞)，与∫a＋∞g(t)dt收敛矛盾． 因此l＝0．
解析
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考研数学二

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