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设f(x)为连续函数,且∫0xtf(2x-t)dt=1/2arctanx2,f(1)=0,求∫12f(x)dx.
设f(x)为连续函数,且∫0xtf(2x-t)dt=1/2arctanx2,f(1)=0,求∫12f(x)dx.
admin
2018-10-12
67
问题
设f(x)为连续函数,且∫
0
x
tf(2x-t)dt=1/2arctanx
2
,f(1)=0,求∫
1
2
f(x)dx.
选项
答案
欲求∫
1
2
f(x)出需知f(x)或f(x)的原函数.题设条件中f(x)出现在可变限积分的被积函数内,可变限的变元隐含在f(2x-t)中,应先变换,化为可直接求导的形式.令u=2x-t,则t=2x-u,dt=-du.当t=0时,u=2x;当t=x时,u=x.则 ∫
0
x
tf(2x-t)dt=-∫
2x
x
(2x-u)f(u)du=-2x∫
2x
x
f(u)du+∫
2x
x
uf(u)du, 即 -2x∫
2x
x
f(u)du+∫
2x
x
uf(u)du=1/2arctanx
2
. 将上式两端同时关于x求导,可得 -2∫
2x
x
f(u)du-2x[f(x)-2f(2x)]+xf(x)-2.2xf(2x)=[*] 即 -2∫
2x
x
f(u)du-xf(x)=[*] 已知f(1)=0,令x=1,可得 -2∫
2
1
f(u)du-1.f(1)=1/2, 所以 ∫
1
2
f(x)dx=1/4.
解析
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本试题收录于:
经济类联考综合能力题库专业硕士分类
0
经济类联考综合能力
专业硕士
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