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  3. 设f(x)为连续函数，且∫0xtf(2x－t)dt=1／2arctanx2，f(1)=0，求∫12f(x)dx．

设f(x)为连续函数，且∫0xtf(2x－t)dt=1／2arctanx2，f(1)=0，求∫12f(x)dx．

admin2018-10-12  113
问题 设f(x)为连续函数，且∫0xtf(2x－t)dt=1／2arctanx2，f(1)=0，求∫12f(x)dx．
选项
答案欲求∫12f(x)出需知f(x)或f(x)的原函数．题设条件中f(x)出现在可变限积分的被积函数内，可变限的变元隐含在f(2x－t)中，应先变换，化为可直接求导的形式．令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．则 ∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=－2x∫2xxf(u)du+∫2xxuf(u)du， 即 －2x∫2xxf(u)du+∫2xxuf(u)du=1／2arctanx2． 将上式两端同时关于x求导，可得 －2∫2xxf(u)du－2x[f(x)－2f(2x)]+xf(x)－2．2xf(2x)=[*] 即 －2∫2xxf(u)du－xf(x)=[*] 已知f(1)=0，令x=1，可得 －2∫21f(u)du－1．f(1)=1／2， 所以 ∫12f(x)dx=1／4．
解析
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