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案例: 某教师在进行圆锥曲线的教学时,给学生出了如下一道练习题: 求过点(0,1)的直线,使它与抛物线y2=2x仅有一个公共点。 某学生的解答过程如下: 解:设所求的过点(0,1)的直线为y=kx+1.则它与抛物线的公共点为,消去y得:(kx+1)2—2x
案例: 某教师在进行圆锥曲线的教学时,给学生出了如下一道练习题: 求过点(0,1)的直线,使它与抛物线y2=2x仅有一个公共点。 某学生的解答过程如下: 解:设所求的过点(0,1)的直线为y=kx+1.则它与抛物线的公共点为,消去y得:(kx+1)2—2x
admin
2021-08-11
52
问题
案例:
某教师在进行圆锥曲线的教学时,给学生出了如下一道练习题:
求过点(0,1)的直线,使它与抛物线y
2
=2x仅有一个公共点。
某学生的解答过程如下:
解:设所求的过点(0,1)的直线为y=kx+1.则它与抛物线的公共点为
,消去y得:(kx+1)
2
—2x=0。
整理得k
2
x
2
+(2k—2)x+1=0。
∵直线与抛物线仅有一个公共点,
∴△=0解得k=
,所求直线为y=
x+1。
问题:
指出该生解题过程中的错误,分析其错误原因;
选项
答案
错解分析:这个解法共有三处错误。 第一,设所求直线为y=kx+1时,没有考虑斜率不存在的情形,实际上就是对直线的点斜式理解不透,以为点斜式可以表示所有直线。 第二,题目要求直线与抛物线只有一个公共点,它包含相交和相切两种情况,而上述解法没有考虑相交的情况,只考虑了相切的情况。错误原因是对于直线与抛物线的位置关系这个知识理解不透。 第三,将直线方程和抛物线方程联立后得一个一元方程后,直接用判别式解题,是对一元二次方程形式不熟悉的表现,没注意到二次项系数为零时,方程不是一元二次方程,不能用二次方程相关知识解题,需要对k为零和不为零进行讨论。 这三处错误,都体现出对基本概念的特征理解不明确。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
教师资格
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