案例：某教师在进行圆锥曲线的教学时，给学生出了如下一道练习题：求过点(0，1)的直线，使它与抛物线y2=2x仅有一个公共点。某学生的解答过程如下：解：设所求的过点(0，1)的直线为y=kx+1．则它与抛物线的公共点为，消去y得：(kx+1)2—2x

admin2021-08-11 65

问题案例：
某教师在进行圆锥曲线的教学时，给学生出了如下一道练习题：
求过点(0，1)的直线，使它与抛物线y²=2x仅有一个公共点。
某学生的解答过程如下：
解：设所求的过点(0，1)的直线为y=kx+1．则它与抛物线的公共点为

，消去y得：(kx+1)²—2x=0。
整理得k²x²+(2k—2)x+1=0。
∵直线与抛物线仅有一个公共点，
∴△=0解得k=

，所求直线为y=

x+1。
问题:
指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因；

选项

答案错解分析：这个解法共有三处错误。第一，设所求直线为y=kx+1时，没有考虑斜率不存在的情形，实际上就是对直线的点斜式理解不透，以为点斜式可以表示所有直线。第二，题目要求直线与抛物线只有一个公共点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相交的情况，只考虑了相切的情况。错误原因是对于直线与抛物线的位置关系这个知识理解不透。第三，将直线方程和抛物线方程联立后得一个一元方程后，直接用判别式解题，是对一元二次方程形式不熟悉的表现，没注意到二次项系数为零时，方程不是一元二次方程，不能用二次方程相关知识解题，需要对k为零和不为零进行讨论。这三处错误，都体现出对基本概念的特征理解不明确。

解析

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