设正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为(1,2,1)T,求a,Q.

admin2013-03-29  30

问题正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为(1,2,1)T,求a,Q.

选项

答案按已知条件,(1,2,1)T是矩阵A的特征向量,设特征值是λ1,那么 [*] 知矩阵A的特征值是:2,5,-4. 对λ=5,由(5E-A)x=0,[*] 得基础解系α2=(1,-1,1)T. 对λ=-4,由(-4E-A)x=0,[*] 得基础解系α3=(-1,0,1)T. 因为A是实对称矩阵,不同特征值对应的特征向量相互正交,故只需把α2,α3单位化,有 γ2=[*](1,-1,1)T,γ3=[*](-1,0,1). 那么令Q=[*] 则QTAQ=Q-1AQ=[*]

解析 因为Q是正交矩阵  QT=Q-1,所以QTAQ=A,即Q-1AQ=A.A的对角线上的元素是A的特征值,Q是A的特征向量.
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