设正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为(1，2，1)T，求a，Q．

admin2013-03-29 72

问题设

正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵．若Q的第1列为

(1，2，1)^T，求a，Q．

选项

答案按已知条件，(1，2，1)^T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ₁，那么 [*] 知矩阵A的特征值是：2，5，-4．对λ=5，由(5E-A)x=0，[*] 得基础解系α₂=(1，-1，1)^T．对λ=-4，由(-4E-A)x=0，[*] 得基础解系α₃=(-1，0，1)^T．因为A是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，故只需把α₂，α₃单位化，有 γ₂=[*]（1，-1,1）^T，γ₃=[*]（-1,0,1）. 那么令Q=[*] 则Q^TAQ=Q^-1AQ=[*]

解析因为Q是正交矩阵 Q^T=Q^-1，所以Q^TAQ=A，即Q^-1AQ=A．A的对角线上的元素是A的特征值，Q是A的特征向量．

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考研数学三

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