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设正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为(1,2,1)T,求a,Q.
设正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵.若Q的第1列为(1,2,1)T,求a,Q.
admin
2013-03-29
28
问题
设
正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角矩阵.若Q的第1列为
(1,2,1)
T
,求a,Q.
选项
答案
按已知条件,(1,2,1)
T
是矩阵A的特征向量,设特征值是λ
1
,那么 [*] 知矩阵A的特征值是:2,5,-4. 对λ=5,由(5E-A)x=0,[*] 得基础解系α
2
=(1,-1,1)
T
. 对λ=-4,由(-4E-A)x=0,[*] 得基础解系α
3
=(-1,0,1)
T
. 因为A是实对称矩阵,不同特征值对应的特征向量相互正交,故只需把α
2
,α
3
单位化,有 γ
2
=[*](1,-1,1)
T
,γ
3
=[*](-1,0,1). 那么令Q=[*] 则Q
T
AQ=Q
-1
AQ=[*]
解析
因为Q是正交矩阵 Q
T
=Q
-1
,所以Q
T
AQ=A,即Q
-1
AQ=A.A的对角线上的元素是A的特征值,Q是A的特征向量.
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考研数学三
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