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  3. 设正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为(1，2，1)T，求a，Q．

设正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为(1，2，1)T，求a，Q．

admin2013-03-29  61
问题 设正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为(1，2，1)T，求a，Q．
选项
答案按已知条件，(1，2，1)T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ1，那么 [*] 知矩阵A的特征值是：2，5，-4． 对λ=5，由(5E-A)x=0，[*] 得基础解系α2=(1，-1，1)T． 对λ=-4，由(-4E-A)x=0，[*] 得基础解系α3=(-1，0，1)T． 因为A是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，故只需把α2，α3单位化，有 γ2=[*]（1，-1,1）T，γ3=[*]（-1,0,1）. 那么令Q=[*] 则QTAQ=Q-1AQ=[*]
解析 因为Q是正交矩阵  QT=Q-1，所以QTAQ=A，即Q-1AQ=A．A的对角线上的元素是A的特征值，Q是A的特征向量．
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考研数学三

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