2. 考研
  3. 设f(x，y)在点(0，0)处连续，且 其中a，b，c为常数． (1)讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可微，若可微则求出df(x，y)｜(0,0)； (2)讨论f(x，y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由．

设f(x，y)在点(0，0)处连续，且 其中a，b，c为常数． (1)讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可微，若可微则求出df(x，y)｜(0,0)； (2)讨论f(x，y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由．

admin2016-09-13  54
问题 设f(x，y)在点(0，0)处连续，且

其中a，b，c为常数．
(1)讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可微，若可微则求出df(x，y)｜(0,0)；
(2)讨论f(x，y)在点(0，0)处是否取极值，说明理由．
选项
答案(1)当(x，y)→(0，0)时，ln(1+x2+y2)～x2+y2， [*][f(x，y)－a－bx－cy]=0=>[*]f(x，y)=a． 由f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得f(0，0)=[*]f(x，y)=a． 再由极限与无穷小的关系可知， [*]=1+o(1)(其中o(1)为当(x，y)→(0，0)时的无穷小量)， 则f(x，y)－f(0，0)－bx－cy=x2+y2+(x2+y2)o(1)=o(ρ)(ρ=[*]→0)， 即f(x，y)－f(0，0)=bx+cy+o(ρ)(ρ→0)． 由可微性概念=>f(x，y)在点(0，0)处可微且df(x，y)｜(0，0)=bdx+cdy． (2)由df(x，y)｜(0，0)=bdx+cdy可知，[*]=c．于是当b，c不同时为零时，f(x，y)在点(0，0)处不取极值． 当b=c=0时，由于 [*] 又由极限保号性可知，[*]δ＞0，当0＜x2+y2＜δ2时， [*]＞0，即f(x，y)＞f(0，0)， 因此f(x，y)在点(0，0)处取极小值．
解析
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考研数学三

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