2. 考研
  3. 设(x1 ，x1 ，…，xn)和(x1 ，x1 ，…，xn)是参数θ的两个独立的无偏估计量，且方差是方差的4倍．试求出常数k1与k2 ，使得是θ的无偏估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小．

设(x1 ，x1 ，…，xn)和(x1 ，x1 ，…，xn)是参数θ的两个独立的无偏估计量，且方差是方差的4倍．试求出常数k1与k2 ，使得是θ的无偏估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小．

admin2016-12-16  36
问题 设(x1 ，x1 ，…，xn)和(x1 ，x1 ，…，xn)是参数θ的两个独立的无偏估计量，且方差是方差的4倍．试求出常数k1与k2 ，使得是θ的无偏估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小．
选项
答案由无偏估计量的定义，为使[*]也是θ的无偏估计量，必有 [*] 即得k1+k2=1．为求k1 ，k2之值，使无偏估计量k1θ1+k2θ2的方差D(k1θ1+k2θ2)最小， [*] 故归结为求函数f(k1 ，k2)=4k12+k22在条件k1+k2=1下的最小值．可用拉格朗日乘数法求之．为此，令 F(k1 ，k2 ，λ)一4k12+k22+λ(k1+k2—1)。 [*]=k1+k2一1=0易求得k1=[*] 即满足上述条件的所有线性估计中，当k1=1/5 ，k2=4/5时，相应方差最小．
解析 由无偏估计量的定义易求出，在条件k1+k2=1时，可使也是θ的无偏估计量，然后用拉格朗日乘数法，求出线性估计中的最小方差在条件k1+k2=1时的k1与k2之值．
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考研数学三

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