设(x1 ，x1 ，…，xn)和(x1 ，x1 ，…，xn)是参数θ的两个独立的无偏估计量，且方差是方差的4倍．试求出常数k1与k2 ，使得是θ的无偏估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小．

admin2016-12-16 65

问题设

(x₁ ，x₁ ，…，x_n)和

(x₁ ，x₁ ，…，x_n)是参数θ的两个独立的无偏估计量，且

方差是

方差的4倍．试求出常数k₁与k₂ ，使得

是θ的无偏估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小．

选项

答案由无偏估计量的定义，为使[*]也是θ的无偏估计量，必有 [*] 即得k₁+k₂=1．为求k₁ ，k₂之值，使无偏估计量k₁θ₁+k₂θ₂的方差D(k₁θ₁+k₂θ₂)最小， [*] 故归结为求函数f(k₁ ，k₂)=4k₁²+k₂²在条件k₁+k₂=1下的最小值．可用拉格朗日乘数法求之．为此，令 F(k₁ ，k₂ ，λ)一4k₁²+k₂²+λ(k₁+k₂—1)。 [*]=k₁+k₂一1=0易求得k₁=[*] 即满足上述条件的所有线性估计中，当k₁=1/5 ，k₂=4/5时，相应方差最小．

解析由无偏估计量的定义易求出，在条件k₁+k₂=1时，可使

也是θ的无偏估计量，然后用拉格朗日乘数法，求出线性估计中的最小方差

在条件k₁+k₂=1时的k₁与k₂之值．

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考研数学三

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设(x1 ，x1 ，…，xn)和(x1 ，x1 ，…，xn)是参数θ的两个独立的无偏估计量，且方差是方差的4倍．试求出常数k1与k2 ，使得是θ的无偏估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小．

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