设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1

admin2016-05-31  40

问题 设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1

选项

答案由A2-A-2E=0,得A(A-E)=2E.两端同时取行列式|A(A-E)|=2,即 |A||A-E|=2,故|A|≠0,所以A可逆. 而由A2-A-2E=0可得 A+2E=A2. 两端同时取行列式 |A+2E|=|A2|=|A|2≠0, 所以A+2E也可逆. 由A(A-E)=2E,得A-1=[*](A-E). 又A2-A-2E=0,通过添加项并整理可得(A+2E)(A-3E)=-4E,则有 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1, 因此(A+2E)-1=[*](A-3E).

解析
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