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  3. 设方阵A满足A2-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-1

设方阵A满足A2-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-1

admin2016-05-31  60
问题 设方阵A满足A2-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-1
选项
答案由A2-A-2E=0，得A(A-E)=2E．两端同时取行列式｜A(A-E)｜=2，即 ｜A｜｜A-E｜=2，故｜A｜≠0，所以A可逆． 而由A2-A-2E=0可得 A+2E=A2． 两端同时取行列式 ｜A+2E｜=｜A2｜=｜A｜2≠0， 所以A+2E也可逆． 由A(A-E)=2E，得A-1=[*](A-E)． 又A2-A-2E=0，通过添加项并整理可得(A+2E)(A-3E)=-4E，则有 (A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1， 因此(A+2E)-1=[*](A-3E)．
解析
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考研数学三

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