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设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1
设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1
admin
2016-05-31
32
问题
设方阵A满足A
2
-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A
-1
及(A+2E)
-1
选项
答案
由A
2
-A-2E=0,得A(A-E)=2E.两端同时取行列式|A(A-E)|=2,即 |A||A-E|=2,故|A|≠0,所以A可逆. 而由A
2
-A-2E=0可得 A+2E=A
2
. 两端同时取行列式 |A+2E|=|A
2
|=|A|
2
≠0, 所以A+2E也可逆. 由A(A-E)=2E,得A
-1
=[*](A-E). 又A
2
-A-2E=0,通过添加项并整理可得(A+2E)(A-3E)=-4E,则有 (A+2E)
-1
(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)
-1
, 因此(A+2E)
-1
=[*](A-3E).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sLT4777K
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考研数学三
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