设方阵A满足A2-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-1

admin2016-05-31 52

问题设方阵A满足A²-A-2E=O，证明A及A+2E都可逆，并求A^-1及(A+2E)^-1

选项

答案由A²-A-2E=0，得A(A-E)=2E．两端同时取行列式｜A(A-E)｜=2，即｜A｜｜A-E｜=2，故｜A｜≠0，所以A可逆．而由A²-A-2E=0可得 A+2E=A²．两端同时取行列式｜A+2E｜=｜A²｜=｜A｜²≠0，所以A+2E也可逆．由A(A-E)=2E，得A^-1=[*](A-E)．又A²-A-2E=0，通过添加项并整理可得(A+2E)(A-3E)=-4E，则有 (A+2E)^-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)^-1，因此(A+2E)^-1=[*](A-3E)．

解析

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考研数学三

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