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  3. (Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数极值点的必要条件)； 　　(Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件．

(Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数极值点的必要条件)； 　　(Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件．

admin2016-05-03  52
问题 (Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数极值点的必要条件)；
　　(Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件．
选项
答案(Ⅰ)费马定理：设f(x)在x=x0处可导，并且f(x0)为f(x)的极值，则必有f’(x0)=0． 证明：设f(x)在x=x0处可导，故存在x=x0的某邻域U(x0)，使得f(x)在U(x0)内有定义．又设f(x0)为f(x)的极值(不妨认为f(x0)为f(x)的极大值)，故知又存在x=x0的一个邻域 [*] 故f’-(x0)=f’+(x0)，所以f’(x0)=0．(Ⅰ)证毕． (Ⅱ)极值的第一充分条件定理：设f(x)在x=x0处连续，且在x=x0的某去心邻域[*](x0)内可导，若在0的左侧[*]内f’(x)＜0(＞0)，则f(x)在x=x0处取得极大值(极小值)f(x0)． 证明：只证括号外情形，括号内情形是类似的．设x∈[*](x0)且x＜x0，由拉格朗日中值定理， f(x)一f(x0)=f’(ξ1)(x—x0)＜0，x＜ξ0＜x0，若x∈[*](x0)且x＞x0，则有 f(x)一f(x0)=f’(ξ2)(x一x0)＜0，x＞ξ2＞x0． 所以当x∈[*](x0)但x≠x0时，有f(x)一f(x0)＜0，从而知f(x0)为f(x)的一个极大值． 举例说明定理的条件是充分而非必要的． 例：取 [*] 易见，存在x=0的去心邻域[*]时，f(x)≥f(0)，故x=0是f(x)的极小值点． 但当x≠0时， [*] 无论取[*](0)多么小，当x→0时，f(x)的第一项趋于0，而第二项cos[*]在一1与1之间振荡，所以f’(x)并不保持确定的符号，并不满足充分条件，f(0)仍可以是极值．
解析
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考研数学三

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